Đại số Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$

Bước 1

Viết $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ ở dạng một phương trình.

$y = \frac{1}{x^{2} - 1}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \frac{1}{y^{2} - 1}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{y^{2} - 1} = x$ .

$\frac{1}{y^{2} - 1} = x$

Bước 3.2

Phân tích mỗi số hạng thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 1^{2}} = x$

Bước 3.2.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = y$ và $b = 1$ .

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} = x$

Bước 3.3

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$(y + 1) (y - 1), 1$

Bước 3.3.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$(y + 1) (y - 1)$

Bước 3.4

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} = x$ với $(y + 1) (y - 1)$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} = x$ với $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = x ((y + 1) (y - 1))$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $(y + 1) (y - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = x ((y + 1) (y - 1))$

Bước 3.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$1 = x ((y + 1) (y - 1))$

Bước 3.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Khai triển $(y + 1) (y - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = x (y (y - 1) + 1 (y - 1))$

Bước 3.4.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = x (y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1))$

Bước 3.4.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = x (y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1)$

Bước 3.4.3.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.2.1.1

Nhân $y$ với $y$ .

$1 = x (y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1)$

Bước 3.4.3.2.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $y$ .

$1 = x (y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1)$

Bước 3.4.3.2.1.3

Viết lại $- 1 y$ ở dạng $- y$ .

$1 = x (y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1)$

Bước 3.4.3.2.1.4

Nhân $y$ với $1$ .

$1 = x (y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1)$

Bước 3.4.3.2.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$1 = x (y^{2} - y + y - 1)$

Bước 3.4.3.2.2

Cộng $- y$ và $y$ .

$1 = x (y^{2} + 0 - 1)$

Bước 3.4.3.2.3

Cộng $y^{2}$ và $0$ .

$1 = x (y^{2} - 1)$

Bước 3.4.3.3

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = x y^{2} + x \cdot - 1$

Bước 3.4.3.3.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$1 = x y^{2} - 1 \cdot x$

Bước 3.4.3.4

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$1 = x y^{2} - x$

Bước 3.5

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $x y^{2} - x = 1$ .

$x y^{2} - x = 1$

Bước 3.5.2

Cộng $x$ cho cả hai vế của phương trình.

$x y^{2} = 1 + x$

Bước 3.5.3

Chia mỗi số hạng trong $x y^{2} = 1 + x$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $x y^{2} = 1 + x$ cho $x$ .

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

Bước 3.5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

Bước 3.5.3.2.1.2

Chia $y^{2}$ cho $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

Bước 3.5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{2} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

Bước 3.5.3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$y^{2} = \frac{1}{x} + 1$

Bước 3.5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{x} + 1}$

Bước 3.5.5

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{1}{x} + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.5.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{x} + \frac{x}{x}}$

Bước 3.5.5.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \pm \sqrt{\frac{1 + x}{x}}$

Bước 3.5.5.3

Viết lại $\sqrt{\frac{1 + x}{x}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{x}}$

Bước 3.5.5.4

Nhân $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{x}}$ với $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Bước 3.5.5.5

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.5.5.1

Nhân $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{x}}$ với $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Bước 3.5.5.5.2

Nâng $\sqrt{x}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Bước 3.5.5.5.3

Nâng $\sqrt{x}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Bước 3.5.5.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Bước 3.5.5.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Bước 3.5.5.5.6

Viết lại ${\sqrt{x}}^{2}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.5.5.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 3.5.5.5.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 3.5.5.5.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.5.5.5.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.5.5.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.5.5.5.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Bước 3.5.5.5.6.5

Rút gọn.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{x}$

Bước 3.5.5.6

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$y = \pm \frac{\sqrt{(1 + x) x}}{x}$

Bước 3.5.5.7

Sắp xếp lại các thừa số trong $\pm \frac{\sqrt{(1 + x) x}}{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

Bước 3.5.6

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.6.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

Bước 3.5.6.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.