Đại số Ví dụ

$\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}} \div (\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}})$

Bước 1

Viết lại phép chia ở dạng một phân số.

$\frac{\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}}}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

Bước 2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

Bước 3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = y$ và $b = x$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

Bước 4

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

Bước 5

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

Bước 5.2

Viết lại đa thức này.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot y + y^{2}}}$

Bước 5.3

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = y$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

Bước 6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

Bước 6.2

Để viết $\frac{1}{(x + y) (y - x)}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

Bước 6.3

Để viết $\frac{1}{{(x + y)}^{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{y - x}{y - x}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Bước 6.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(y - x) {(x + y)}^{2}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Nhân $\frac{1}{(x + y) (y - x)}$ với $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{(x + y) (y - x) (x + y)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Bước 6.4.2

Nâng $x + y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1} (x + y) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Bước 6.4.3

Nâng $x + y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1} {(x + y)}^{1} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Bước 6.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1 + 1} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Bước 6.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Bước 6.4.6

Nhân $\frac{1}{{(x + y)}^{2}}$ với $\frac{y - x}{y - x}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)} + \frac{y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Bước 6.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y + y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Bước 6.6

Viết lại $\frac{x + y + y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{y + y + 0}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Bước 6.6.2

Cộng $y + y$ và $0$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{y + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Bước 6.6.3

Cộng $y$ và $y$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp.

$\frac{4 x y \cdot 1}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Bước 7.2

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Bước 8

Đưa $\frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}$ ra ngoài $\frac{4 x y}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$ .

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x)}{2 y} \cdot \frac{4 x y}{(y + x) (y - x)}$

Bước 9

Kết hợp.

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x) (4 x y)}{2 y ((y + x) (y - x))}$

Bước 10

Triệt tiêu thừa số chung $y - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x) (4 x y)}{2 y ((y + x) (y - x))}$

Bước 10.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(x + y)}^{2} (4 x y)}{2 y (y + x)}$

Bước 11

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Đưa $2$ ra ngoài ${(x + y)}^{2} (4 x y)$ .

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 y (y + x)}$

Bước 11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 y (y + x)$ .

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 (y (y + x))}$

Bước 11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 (y (y + x))}$

Bước 11.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x y)}{y (y + x)}$

Bước 12

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x y)}{y (y + x)}$

Bước 12.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x)}{y + x}$

Bước 13

Triệt tiêu thừa số chung của ${(x + y)}^{2}$ và $y + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x)}{x + y}$

Bước 13.2

Đưa $x + y$ ra ngoài ${(x + y)}^{2} (2 x)$ .

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{x + y}$

Bước 13.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Nhân với $1$ .

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{(x + y) \cdot 1}$

Bước 13.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{(x + y) \cdot 1}$

Bước 13.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{(x + y) (2 x)}{1}$

Bước 13.3.4

Chia $(x + y) (2 x)$ cho $1$ .

$(x + y) (2 x)$

Bước 14

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (2 x) + y (2 x)$

Bước 15

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 x \cdot x + y (2 x)$

Bước 15.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 x \cdot x + 2 y x$

Bước 16

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Di chuyển $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 y x$

Bước 16.2

Nhân $x$ với $x$ .

$2 x^{2} + 2 y x$