Đại số Ví dụ

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 10} \geq \frac{2}{24}$

Bước 1

Trừ $\frac{2}{24}$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 10} - \frac{2}{24} \geq 0$

Bước 2

Rút gọn $\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 10} - \frac{2}{24}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nhân $\frac{1}{x}$ với $\frac{(x - 10) \cdot 24}{(x - 10) \cdot 24}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{(x - 10) \cdot 24}{(x - 10) \cdot 24} + \frac{1}{x - 10} - \frac{2}{24} \geq 0$

Bước 2.1.2

Nhân $\frac{1}{x}$ với $\frac{(x - 10) \cdot 24}{(x - 10) \cdot 24}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{1}{x - 10} - \frac{2}{24} \geq 0$

Bước 2.1.3

Nhân $\frac{1}{x - 10}$ với $\frac{x \cdot 24}{x \cdot 24}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{1}{x - 10} \cdot \frac{x \cdot 24}{x \cdot 24} - \frac{2}{24} \geq 0$

Bước 2.1.4

Nhân $\frac{1}{x - 10}$ với $\frac{x \cdot 24}{x \cdot 24}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{x \cdot 24}{(x - 10) (x \cdot 24)} - \frac{2}{24} \geq 0$

Bước 2.1.5

Nhân $\frac{2}{24}$ với $\frac{x (x - 10)}{x (x - 10)}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{x \cdot 24}{(x - 10) (x \cdot 24)} - (\frac{2}{24} \cdot \frac{x (x - 10)}{x (x - 10)}) \geq 0$

Bước 2.1.6

Nhân $\frac{2}{24}$ với $\frac{x (x - 10)}{x (x - 10)}$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{x ((x - 10) \cdot 24)} + \frac{x \cdot 24}{(x - 10) (x \cdot 24)} - \frac{2 (x (x - 10))}{24 (x (x - 10))} \geq 0$

Bước 2.1.7

Sắp xếp lại các thừa số của $x ((x - 10) \cdot 24)$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{24 x (x - 10)} + \frac{x \cdot 24}{(x - 10) (x \cdot 24)} - \frac{2 (x (x - 10))}{24 (x (x - 10))} \geq 0$

Bước 2.1.8

Sắp xếp lại các thừa số của $(x - 10) (x \cdot 24)$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{24 x (x - 10)} + \frac{x \cdot 24}{24 x (x - 10)} - \frac{2 (x (x - 10))}{24 (x (x - 10))} \geq 0$

Bước 2.1.9

Sắp xếp lại các thừa số của $24 (x (x - 10))$ .

$\frac{(x - 10) \cdot 24}{24 x (x - 10)} + \frac{x \cdot 24}{24 x (x - 10)} - \frac{2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{(x - 10) \cdot 24 + x \cdot 24 - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \cdot 24 - 10 \cdot 24 + x \cdot 24 - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.3.2

Di chuyển $24$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{24 \cdot x - 10 \cdot 24 + x \cdot 24 - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.3.3

Nhân $- 10$ với $24$ .

$\frac{24 \cdot x - 240 + x \cdot 24 - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.3.4

Di chuyển $24$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{24 x - 240 + 24 \cdot x - 2 (x (x - 10))}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.3.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 (x \cdot x + x \cdot - 10)}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.3.6

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 (x^{2} + x \cdot - 10)}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.3.7

Di chuyển $- 10$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 (x^{2} - 10 \cdot x)}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.3.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 x^{2} - 2 (- 10 x)}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.3.9

Nhân $- 10$ với $- 2$ .

$\frac{24 x - 240 + 24 x - 2 x^{2} + 20 x}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.4

Cộng $24 x$ và $24 x$ .

$\frac{48 x - 240 - 2 x^{2} + 20 x}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.5

Cộng $48 x$ và $20 x$ .

$\frac{68 x - 240 - 2 x^{2}}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $68 x - 240 - 2 x^{2}$ và $24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $68 x$ .

$\frac{2 (34 x) - 240 - 2 x^{2}}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.6.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 240$ .

$\frac{2 (34 x) + 2 (- 120) - 2 x^{2}}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.6.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (34 x) + 2 (- 120)$ .

$\frac{2 (34 x - 120) - 2 x^{2}}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.6.4

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (34 x - 120) + 2 (- x^{2})}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.6.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (34 x - 120) + 2 (- x^{2})$ .

$\frac{2 (34 x - 120 - x^{2})}{24 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.6.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $24 x (x - 10)$ .

$\frac{2 (34 x - 120 - x^{2})}{2 (12 x (x - 10))} \geq 0$

Bước 2.6.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (34 x - 120 - x^{2})}{2 (12 x (x - 10))} \geq 0$

Bước 2.6.6.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{34 x - 120 - x^{2}}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.7

Phân tích thành thừa số bằng cách nhóm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- x^{2} + 34 x - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.7.2

Đối với đa thức có dạng $a x^{2} + b x + c$ , hãy viết lại số hạng ở giữa là tổng của hai số hạng có tích là $a \cdot c = - 1 \cdot - 120 = 120$ và có tổng là $b = 34$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.2.1

Đưa $34$ ra ngoài $34 x$ .

$\frac{- x^{2} + 34 (x) - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.7.2.2

Viết lại $34$ ở dạng $4$ cộng $30$

$\frac{- x^{2} + (4 + 30) x - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.7.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{- x^{2} + 4 x + 30 x - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.7.3

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.3.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{(- x^{2} + 4 x) + 30 x - 120}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.7.3.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{x (- x + 4) - 30 (- x + 4)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.7.4

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- x + 4$ .

$\frac{(- x + 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{(- (x) + 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.9

Viết lại $4$ ở dạng $- 1 (- 4)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 4)) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.10

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.11

Viết lại $- (x - 4)$ ở dạng $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{- 1 (x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 2.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{(x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)} \geq 0$

Bước 3

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$12 x = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 30 = 0$

$x - 10 = 0$

Bước 4

Chia mỗi số hạng trong $12 x = 0$ cho $12$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chia mỗi số hạng trong $12 x = 0$ cho $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Bước 4.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Bước 4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Chia $0$ cho $12$ .

$x = 0$

Bước 5

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 4$

Bước 6

Cộng $30$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 30$

Bước 7

Cộng $10$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 10$

Bước 8

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = 0$

$x = 4$

$x = 30$

$x = 10$

Bước 9

Hợp nhất các đáp án.

$x = 0, 4, 30, 10$

Bước 10

Tìm tập xác định của $- \frac{(x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Đặt mẫu số trong $\frac{(x - 4) (x - 30)}{12 x (x - 10)}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$12 x (x - 10) = 0$

Bước 10.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x - 10 = 0$

Bước 10.2.2

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 10.2.3

Đặt $x - 10$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1

Đặt $x - 10$ bằng với $0$ .

$x - 10 = 0$

Bước 10.2.3.2

Cộng $10$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 10$

Bước 10.2.4

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $12 x (x - 10) = 0$ đúng.

$x = 0, 10$

Bước 10.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, 10) \cup (10, \infty)$

Bước 11

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$4 < x < 10$

$10 < x < 30$

$x > 30$

Bước 12

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 2$

Bước 12.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{1}{- 2} + \frac{1}{(- 2) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Bước 12.1.3

Vế trái $- 0.58\overline{3}$ nhỏ hơn vế phải $0.08\overline{3}$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 12.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 2$

Bước 12.2.2

Thay thế $x$ bằng $2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{(2) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Bước 12.2.3

Vế trái $0.375$ lớn hơn vế phải $0.08\overline{3}$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 12.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $4 < x < 10$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $4 < x < 10$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 7$

Bước 12.3.2

Thay thế $x$ bằng $7$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{1}{7} + \frac{1}{(7) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Bước 12.3.3

Vế trái $- 0.\overline{190476}$ nhỏ hơn vế phải $0.08\overline{3}$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 12.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $10 < x < 30$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $10 < x < 30$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 12$

Bước 12.4.2

Thay thế $x$ bằng $12$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{1}{12} + \frac{1}{(12) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Bước 12.4.3

Vế trái $0.58\overline{3}$ lớn hơn vế phải $0.08\overline{3}$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 12.5

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 30$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 30$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 32$

Bước 12.5.2

Thay thế $x$ bằng $32$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{1}{32} + \frac{1}{(32) - 10} \geq \frac{2}{24}$

Bước 12.5.3

Vế trái $0.07670\overline{45}$ nhỏ hơn vế phải $0.08\overline{3}$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 12.6

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < 0$ Sai

$0 < x < 4$ Đúng

$4 < x < 10$ Sai

$10 < x < 30$ Đúng

$x > 30$ Sai

$x < 0$ Sai

$0 < x < 4$ Đúng

$4 < x < 10$ Sai

$10 < x < 30$ Đúng

$x > 30$ Sai

Bước 13

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$0 < x \leq 4$ hoặc $10 < x \leq 30$

Bước 14

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng bất đẳng thức:

$0 < x \leq 4 or 10 < x \leq 30$

Ký hiệu khoảng:

$(0, 4] \cup (10, 30]$

Bước 15