Đại số Ví dụ

$f (x) = 4 + \frac{5}{e^{x - 3}}$

Bước 1

Viết $f (x) = 4 + \frac{5}{e^{x - 3}}$ ở dạng một phương trình.

$y = 4 + \frac{5}{e^{x - 3}}$

Bước 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 4 + \frac{5}{e^{y - 3}}$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $4 + \frac{5}{e^{y - 3}} = x$ .

$4 + \frac{5}{e^{y - 3}} = x$

Bước 3.2

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{5}{e^{y - 3}} = x - 4$

Bước 3.3

Nhân cả hai vế với $e^{y - 3}$ .

$\frac{5}{e^{y - 3}} e^{y - 3} = (x - 4) e^{y - 3}$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{y - 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5}{e^{y - 3}} e^{y - 3} = (x - 4) e^{y - 3}$

Bước 3.4.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$5 = (x - 4) e^{y - 3}$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 = x e^{y - 3} - 4 e^{y - 3}$

Bước 3.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $x e^{y - 3} - 4 e^{y - 3} = 5$ .

$x e^{y - 3} - 4 e^{y - 3} = 5$

Bước 3.5.2

Đưa $e^{y - 3}$ ra ngoài $x e^{y - 3} - 4 e^{y - 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Đưa $e^{y - 3}$ ra ngoài $x e^{y - 3}$ .

$e^{y - 3} x - 4 e^{y - 3} = 5$

Bước 3.5.2.2

Đưa $e^{y - 3}$ ra ngoài $- 4 e^{y - 3}$ .

$e^{y - 3} x + e^{y - 3} \cdot - 4 = 5$

Bước 3.5.2.3

Đưa $e^{y - 3}$ ra ngoài $e^{y - 3} x + e^{y - 3} \cdot - 4$ .

$e^{y - 3} (x - 4) = 5$

Bước 3.5.3

Chia mỗi số hạng trong $e^{y - 3} (x - 4) = 5$ cho $x - 4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{y - 3} (x - 4) = 5$ cho $x - 4$ .

$\frac{e^{y - 3} (x - 4)}{x - 4} = \frac{5}{x - 4}$

Bước 3.5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{y - 3} (x - 4)}{x - 4} = \frac{5}{x - 4}$

Bước 3.5.3.2.1.2

Chia $e^{y - 3}$ cho $1$ .

$e^{y - 3} = \frac{5}{x - 4}$

Bước 3.5.4

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (e^{y - 3}) = \ln (\frac{5}{x - 4})$

Bước 3.5.5

Khai triển vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.5.1

Khai triển $\ln (e^{y - 3})$ bằng cách di chuyển $y - 3$ ra bên ngoài lôgarit.

$(y - 3) \ln (e) = \ln (\frac{5}{x - 4})$

Bước 3.5.5.2

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$(y - 3) \cdot 1 = \ln (\frac{5}{x - 4})$

Bước 3.5.5.3

Nhân $y - 3$ với $1$ .

$y - 3 = \ln (\frac{5}{x - 4})$

Bước 3.5.6

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \ln (\frac{5}{x - 4}) + 3$

Bước 4

Thay thế $y$ bằng $f^{- 1} (x)$ để cho thấy đáp án cuối cùng.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{5}{x - 4}) + 3$

Bước 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{5}{x - 4}) + 3$ có là hàm ngược của $f (x) = 4 + \frac{5}{e^{x - 3}}$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 5.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 5.2.2

Tính $f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}})$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = \ln (\frac{5}{(4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) - 4}) + 3$

Bước 5.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\ln (\frac{5}{(4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) - 4}) + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = \ln (\frac{5}{0 + \frac{5}{e^{x - 3}}}) + 3$

Bước 5.2.3.2

Cộng $0$ và $\frac{5}{e^{x - 3}}$ .

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = \ln (\frac{5}{\frac{5}{e^{x - 3}}}) + 3$

Bước 5.2.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = \ln (5 (\frac{e^{x - 3}}{5})) + 3$

Bước 5.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = \ln (5 (\frac{e^{x - 3}}{5})) + 3$

Bước 5.2.4.2.2

Viết lại biểu thức.

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = \ln (e^{x - 3}) + 3$

Bước 5.2.4.3

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $x - 3$ ra khỏi số mũ.

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = (x - 3) \ln (e) + 3$

Bước 5.2.4.4

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = (x - 3) \cdot 1 + 3$

Bước 5.2.4.5

Nhân $x - 3$ với $1$ .

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = x - 3 + 3$

Bước 5.2.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 3 + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.5.1

Cộng $- 3$ và $3$ .

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = x + 0$

Bước 5.2.5.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f^{- 1} (4 + \frac{5}{e^{x - 3}}) = x$

Bước 5.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 5.3.2

Tính $f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3)$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) = 4 + \frac{5}{e^{(\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) - 3}}$

Bước 5.3.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $4 + \frac{5}{e^{(\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) - 3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Trừ $3$ khỏi $3$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) = 4 + \frac{5}{e^{\ln (\frac{5}{x - 4}) + 0}}$

Bước 5.3.3.2

Cộng $\ln (\frac{5}{x - 4})$ và $0$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) = 4 + \frac{5}{e^{\ln (\frac{5}{x - 4})}}$

Bước 5.3.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) = 4 + \frac{5}{\frac{5}{x - 4}}$

Bước 5.3.4.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) = 4 + 5 (\frac{x - 4}{5})$

Bước 5.3.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) = 4 + 5 (\frac{x - 4}{5})$

Bước 5.3.4.3.2

Viết lại biểu thức.

$f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) = 4 + x - 4$

Bước 5.3.5

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $4 + x - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Trừ $4$ khỏi $4$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) = x + 0$

Bước 5.3.5.2

Cộng $x$ và $0$ .

$f (\ln (\frac{5}{x - 4}) + 3) = x$

Bước 5.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{5}{x - 4}) + 3$ là hàm ngược của $f (x) = 4 + \frac{5}{e^{x - 3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{5}{x - 4}) + 3$