Đại số Ví dụ

$\frac{x^{3} - x}{x^{2} + 1} > 0$

Bước 1

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$x^{3} - x = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Bước 2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3} - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - x = 0$

Bước 2.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $- x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 = 0$

Bước 2.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$x (x^{2} - 1) = 0$

Bước 2.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Bước 2.3

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Bước 2.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$x (x + 1) (x - 1) = 0$

Bước 3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Bước 4

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 5

Đặt $x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Đặt $x + 1$ bằng với $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 5.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 6

Đặt $x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đặt $x - 1$ bằng với $0$ .

$x - 1 = 0$

Bước 6.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Bước 7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x (x + 1) (x - 1) = 0$ đúng.

$x = 0, - 1, 1$

Bước 8

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} = - 1$

Bước 9

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Bước 10

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$x = \pm i$

Bước 11

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = i$

Bước 11.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - i$

Bước 11.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = i, - i$

Bước 12

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = 0, - 1, 1$

$x = i, - i$

Bước 13

Hợp nhất các đáp án.

$x = 0, - 1, 1$

Bước 14

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Bước 15

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 4$

Bước 15.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(- 4)}^{3} - (- 4)}{{(- 4)}^{2} + 1} > 0$

Bước 15.1.3

Vế trái $- 3.52941176$ không lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 15.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 1 < x < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 1 < x < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 0.5$

Bước 15.2.2

Thay thế $x$ bằng $- 0.5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(- 0.5)}^{3} - (- 0.5)}{{(- 0.5)}^{2} + 1} > 0$

Bước 15.2.3

Vế trái $0.3$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 15.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0.5$

Bước 15.3.2

Thay thế $x$ bằng $0.5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(0.5)}^{3} - (0.5)}{{(0.5)}^{2} + 1} > 0$

Bước 15.3.3

Vế trái $- 0.3$ không lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 15.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 15.4.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(4)}^{3} - (4)}{{(4)}^{2} + 1} > 0$

Bước 15.4.3

Vế trái $3.52941176$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 15.5

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 1$ Sai

$- 1 < x < 0$ Đúng

$0 < x < 1$ Sai

$x > 1$ Đúng

$x < - 1$ Sai

$- 1 < x < 0$ Đúng

$0 < x < 1$ Sai

$x > 1$ Đúng

Bước 16

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- 1 < x < 0$ hoặc $x > 1$

Bước 17

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng bất đẳng thức:

$- 1 < x < 0 or x > 1$

Ký hiệu khoảng:

$(- 1, 0) \cup (1, \infty)$

Bước 18