Đại số Ví dụ

$1 + \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Bước 1

Di chuyển tất cả các số hạng sang vế trái của phương trình và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Rút gọn $1 + \frac{x - 1}{x + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1.1

Tách phân số $\frac{x - 1}{x + 1}$ thành hai phân số.

$1 + \frac{x}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Bước 1.1.1.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 + \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Bước 1.1.1.2

Tìm mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$\frac{1}{1} + \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Bước 1.1.1.2.2

Nhân $\frac{1}{1}$ với $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Bước 1.1.1.2.3

Nhân $\frac{1}{1}$ với $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Bước 1.1.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x + 1 + x - 1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Bước 1.1.1.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + 1 + x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.4.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{x + x + 0}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Bước 1.1.1.4.2

Cộng $x + x$ và $0$ .

$\frac{x + x}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Bước 1.1.1.5

Cộng $x$ và $x$ .

$\frac{2 x}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Bước 1.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Tách phân số $\frac{x + 1}{x - 1}$ thành hai phân số.

$\frac{2 x}{x + 1} = \frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

Bước 1.3

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Trừ $\frac{x}{x - 1}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{2 x}{x + 1} - \frac{x}{x - 1} = \frac{1}{x - 1}$

Bước 1.3.2

Trừ $\frac{1}{x - 1}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{2 x}{x + 1} - \frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} = 0$

Bước 2

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$x + 1, x - 1, x - 1, 1$

Bước 2.2

BCNN là số dương nhỏ nhất mà tất cả các số chia đều cho nó.

1. Liệt kê các thừa số nguyên tố của từng số.

2. Nhân mỗi thừa số với số lần xuất hiện nhiều nhất của nó ở một trong các số.

Bước 2.3

Số $1$ không phải là một số nguyên tố vì nó chỉ có một thừa số dương, cũng là chính nó.

Không phải là số nguyên tố

Bước 2.4

BCNN của $1, 1, 1, 1$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số nguyên tố với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số.

$1$

Bước 2.5

Thừa số cho $x + 1$ là chính nó $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ xảy ra $1$ lần.

Bước 2.6

Thừa số cho $x - 1$ là chính nó $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ xảy ra $1$ lần.

Bước 2.7

BCNN của $x + 1, x - 1, x - 1$ là kết quả của việc nhân tất cả các thừa số với số lần lớn nhất chúng xảy ra trong cả hai số hạng.

$(x + 1) (x - 1)$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{2 x}{x + 1} - \frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} = 0$ với $(x + 1) (x - 1)$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{2 x}{x + 1} - \frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} = 0$ với $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 x}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Bước 3.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$2 x (x - 1) - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Bước 3.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Bước 3.2.1.3

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.3.1

Di chuyển $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Bước 3.2.1.3.2

Nhân $x$ với $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Bước 3.2.1.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 x^{2} - 2 x - \frac{x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Bước 3.2.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.5.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{x}{x - 1}$ vào tử số.

$2 x^{2} - 2 x + \frac{- x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Bước 3.2.1.5.2

Đưa $x - 1$ ra ngoài $(x + 1) (x - 1)$ .

$2 x^{2} - 2 x + \frac{- x}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Bước 3.2.1.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 x^{2} - 2 x + \frac{- x}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Bước 3.2.1.5.4

Viết lại biểu thức.

$2 x^{2} - 2 x - x (x + 1) - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Bước 3.2.1.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x^{2} - 2 x - x \cdot x - x \cdot 1 - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Bước 3.2.1.7

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.7.1

Di chuyển $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - (x \cdot x) - x \cdot 1 - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Bước 3.2.1.7.2

Nhân $x$ với $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - x^{2} - x \cdot 1 - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Bước 3.2.1.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 x^{2} - 2 x - x^{2} - x - \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Bước 3.2.1.9

Triệt tiêu thừa số chung $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.9.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{x - 1}$ vào tử số.

$2 x^{2} - 2 x - x^{2} - x + \frac{- 1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Bước 3.2.1.9.2

Đưa $x - 1$ ra ngoài $(x + 1) (x - 1)$ .

$2 x^{2} - 2 x - x^{2} - x + \frac{- 1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Bước 3.2.1.9.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 x^{2} - 2 x - x^{2} - x + \frac{- 1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Bước 3.2.1.9.4

Viết lại biểu thức.

$2 x^{2} - 2 x - x^{2} - x - (x + 1) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Bước 3.2.1.10

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x^{2} - 2 x - x^{2} - x - x - 1 \cdot 1 = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Bước 3.2.1.11

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 x^{2} - 2 x - x^{2} - x - x - 1 = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Bước 3.2.2

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Trừ $x^{2}$ khỏi $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 2 x - x - x - 1 = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Bước 3.2.2.2

Trừ $x$ khỏi $- 2 x$ .

$x^{2} - 3 x - x - 1 = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Bước 3.2.2.3

Trừ $x$ khỏi $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Bước 3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Khai triển $(x + 1) (x - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Bước 3.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Bước 3.3.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Bước 3.3.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1.1

Nhân $x$ với $x$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Bước 3.3.2.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Bước 3.3.2.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Bước 3.3.2.1.4

Nhân $x$ với $1$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Bước 3.3.2.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x^{2} - x + x - 1)$

Bước 3.3.2.2

Cộng $- x$ và $x$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x^{2} + 0 - 1)$

Bước 3.3.2.3

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x^{2} - 1)$

Bước 3.3.3

Nhân $0$ với $x^{2} - 1$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Bước 4

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 4.2

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 4$ , và $c = - 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.1.2.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.1.3

Cộng $16$ và $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.1.4

Viết lại $20$ ở dạng $2^{2} \cdot 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.1.4.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Bước 4.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Bước 4.3.3

Rút gọn $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Bước 4.4

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Dạng thập phân:

$x = 4.23606797 \dots, - 0.23606797 \dots$