Đại số Ví dụ

$| x^{2} + x - 6 | < 6$

Bước 1

Viết $| x^{2} + x - 6 | < 6$ ở dạng hàm từng khúc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để tìm khoảng cho phần đầu tiên, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối không âm.

$x^{2} + x - 6 \geq 0$

Bước 1.2

Giải bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$x^{2} + x - 6 = 0$

Bước 1.2.2

Phân tích $x^{2} + x - 6$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 6$ và tổng của chúng là $1$ .

$- 2, 3$

Bước 1.2.2.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Bước 1.2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Bước 1.2.4

Đặt $x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Đặt $x - 2$ bằng với $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 1.2.4.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 1.2.5

Đặt $x + 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Đặt $x + 3$ bằng với $0$ .

$x + 3 = 0$

Bước 1.2.5.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 1.2.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x - 2) (x + 3) = 0$ đúng.

$x = 2, - 3$

Bước 1.2.7

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Bước 1.2.8

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 6$

Bước 1.2.8.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(- 6)}^{2} - 6 - 6 \geq 0$

Bước 1.2.8.1.3

Vế trái $24$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 1.2.8.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 3 < x < 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 3 < x < 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 1.2.8.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(0)}^{2} + 0 - 6 \geq 0$

Bước 1.2.8.2.3

Vế trái $- 6$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 1.2.8.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 1.2.8.3.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(4)}^{2} + 4 - 6 \geq 0$

Bước 1.2.8.3.3

Vế trái $14$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 1.2.8.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 3$ Đúng

$- 3 < x < 2$ Sai

$x > 2$ Đúng

$x < - 3$ Đúng

$- 3 < x < 2$ Sai

$x > 2$ Đúng

Bước 1.2.9

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x \leq - 3$ hoặc $x \geq 2$

Bước 1.3

Trong phần nơi mà $x^{2} + x - 6$ không âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối.

$x^{2} + x - 6 < 6$

Bước 1.4

Để tìm khoảng cho phần thứ hai, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối âm.

$x^{2} + x - 6 < 0$

Bước 1.5

Giải bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$x^{2} + x - 6 = 0$

Bước 1.5.2

Phân tích $x^{2} + x - 6$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

$- 2, 3$

Bước 1.5.2.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Bước 1.5.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Bước 1.5.4

Đặt $x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.4.1

Đặt $x - 2$ bằng với $0$ .

$x - 2 = 0$

Bước 1.5.4.2

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Bước 1.5.5

Đặt $x + 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.5.1

Đặt $x + 3$ bằng với $0$ .

$x + 3 = 0$

Bước 1.5.5.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 1.5.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x - 2) (x + 3) = 0$ đúng.

$x = 2, - 3$

Bước 1.5.7

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Bước 1.5.8

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.8.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.8.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 6$

Bước 1.5.8.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(- 6)}^{2} - 6 - 6 < 0$

Bước 1.5.8.1.3

Vế trái $24$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 1.5.8.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 3 < x < 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.8.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 3 < x < 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 1.5.8.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(0)}^{2} + 0 - 6 < 0$

Bước 1.5.8.2.3

Vế trái $- 6$ nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 1.5.8.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 2$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.8.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 2$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 4$

Bước 1.5.8.3.2

Thay thế $x$ bằng $4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(4)}^{2} + 4 - 6 < 0$

Bước 1.5.8.3.3

Vế trái $14$ không nhỏ hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 1.5.8.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 3$ Sai

$- 3 < x < 2$ Đúng

$x > 2$ Sai

$x < - 3$ Sai

$- 3 < x < 2$ Đúng

$x > 2$ Sai

Bước 1.5.9

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- 3 < x < 2$

Bước 1.6

Trong phần nơi mà $x^{2} + x - 6$ âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối và nhân với $- 1$ .

$- (x^{2} + x - 6) < 6$

Bước 1.7

Viết ở dạng hàm từng khúc.

${\begin{cases} x^{2} + x - 6 < 6 & x \leq - 3 or x \geq 2 \\ - (x^{2} + x - 6) < 6 & - 3 < x < 2 \end{cases}$

Bước 1.8

Rút gọn $- (x^{2} + x - 6) < 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${\begin{cases} x^{2} + x - 6 < 6 & x \leq - 3 or x \geq 2 \\ - x^{2} - x - - 6 < 6 & - 3 < x < 2 \end{cases}$

Bước 1.8.2

Nhân $- 1$ với $- 6$ .

${\begin{cases} x^{2} + x - 6 < 6 & x \leq - 3 or x \geq 2 \\ - x^{2} - x + 6 < 6 & - 3 < x < 2 \end{cases}$

Bước 2

Giải $x^{2} + x - 6 < 6$ khi $x \leq - 3 or x \geq 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Giải $x^{2} + x - 6 < 6$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$x^{2} + x - 6 = 6$

Bước 2.1.2

Trừ $6$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} + x - 6 - 6 = 0$

Bước 2.1.3

Trừ $6$ khỏi $- 6$ .

$x^{2} + x - 12 = 0$

Bước 2.1.4

Phân tích $x^{2} + x - 12$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 12$ và tổng của chúng là $1$ .

$- 3, 4$

Bước 2.1.4.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Bước 2.1.5

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Bước 2.1.6

Đặt $x - 3$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.1

Đặt $x - 3$ bằng với $0$ .

$x - 3 = 0$

Bước 2.1.6.2

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 3$

Bước 2.1.7

Đặt $x + 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.7.1

Đặt $x + 4$ bằng với $0$ .

$x + 4 = 0$

Bước 2.1.7.2

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 4$

Bước 2.1.8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x - 3) (x + 4) = 0$ đúng.

$x = 3, - 4$

Bước 2.1.9

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 4$

$- 4 < x < 3$

$x > 3$

Bước 2.1.10

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.10.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 4$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.10.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 4$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 6$

Bước 2.1.10.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(- 6)}^{2} - 6 - 6 < 6$

Bước 2.1.10.1.3

Vế trái $24$ không nhỏ hơn vế phải $6$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 2.1.10.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 4 < x < 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.10.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 4 < x < 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 0$

Bước 2.1.10.2.2

Thay thế $x$ bằng $0$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(0)}^{2} + 0 - 6 < 6$

Bước 2.1.10.2.3

Vế trái $- 6$ nhỏ hơn vế phải $6$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 2.1.10.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.10.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 2.1.10.3.2

Thay thế $x$ bằng $6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

${(6)}^{2} + 6 - 6 < 6$

Bước 2.1.10.3.3

Vế trái $36$ không nhỏ hơn vế phải $6$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 2.1.10.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 4$ Sai

$- 4 < x < 3$ Đúng

$x > 3$ Sai

$x < - 4$ Sai

$- 4 < x < 3$ Đúng

$x > 3$ Sai

Bước 2.1.11

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- 4 < x < 3$

Bước 2.2

Tìm phần giao của $- 4 < x < 3$ và $x \leq - 3 o r + x \geq 2$ .

$- 4 < x \leq - 3$ hoặc $2 \leq x < 3$

Bước 3

Giải $- x^{2} - x + 6 < 6$ khi $- 3 < x < 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Giải $- x^{2} - x + 6 < 6$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Quy đổi bất đẳng thức sang một phương trình.

$- x^{2} - x + 6 = 6$

Bước 3.1.2

Trừ $6$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x^{2} - x + 6 - 6 = 0$

Bước 3.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- x^{2} - x + 6 - 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Trừ $6$ khỏi $6$ .

$- x^{2} - x + 0 = 0$

Bước 3.1.3.2

Cộng $- x^{2} - x$ và $0$ .

$- x^{2} - x = 0$

Bước 3.1.4

Đưa $- x$ ra ngoài $- x^{2} - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Đưa $- x$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$- x \cdot x - x = 0$

Bước 3.1.4.2

Đưa $- x$ ra ngoài $- x$ .

$- x \cdot x - x \cdot 1 = 0$

Bước 3.1.4.3

Đưa $- x$ ra ngoài $- x (x) - x (1)$ .

$- x (x + 1) = 0$

Bước 3.1.5

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Bước 3.1.6

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 3.1.7

Đặt $x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.7.1

Đặt $x + 1$ bằng với $0$ .

$x + 1 = 0$

Bước 3.1.7.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Bước 3.1.8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- x (x + 1) = 0$ đúng.

$x = 0, - 1$

Bước 3.1.9

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Bước 3.1.10

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.10.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 1$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.10.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 1$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 4$

Bước 3.1.10.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 4$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$- {(- 4)}^{2} - (- 4) + 6 < 6$

Bước 3.1.10.1.3

Vế trái $- 6$ nhỏ hơn vế phải $6$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 3.1.10.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 1 < x < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.10.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 1 < x < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 0.5$

Bước 3.1.10.2.2

Thay thế $x$ bằng $- 0.5$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$- {(- 0.5)}^{2} - (- 0.5) + 6 < 6$

Bước 3.1.10.2.3

Vế trái $6.25$ không nhỏ hơn vế phải $6$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

Sai

Bước 3.1.10.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.10.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 2$

Bước 3.1.10.3.2

Thay thế $x$ bằng $2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$- {(2)}^{2} - (2) + 6 < 6$

Bước 3.1.10.3.3

Vế trái $0$ nhỏ hơn vế phải $6$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

Đúng

Bước 3.1.10.4

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 1$ Đúng

$- 1 < x < 0$ Sai

$x > 0$ Đúng

$x < - 1$ Đúng

$- 1 < x < 0$ Sai

$x > 0$ Đúng

Bước 3.1.11

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$x < - 1$ hoặc $x > 0$

Bước 3.2

Tìm phần giao của $x < - 1 or x > 0$ và $- 3 < x < 2$ .

$- 3 < x < - 1$ hoặc $0 < x < 2$

Bước 4

Tìm hợp của các đáp án.

$- 4 < x < - 1$ hoặc $0 < x < 3$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng bất đẳng thức:

$- 4 < x < - 1 or 0 < x < 3$

Ký hiệu khoảng:

$(- 4, - 1) \cup (0, 3)$

Bước 6