Тригонометрия Примеры

$\cos (\frac{2}{3} \cdot (π x))$

Step 1

Применим форму $a \cos (b x - c) + d$ , чтобы найти переменные, используемые для вычисления амплитуды, периода, сдвига фазы и смещения по вертикали.

$a = 1$

$b = \frac{2 π}{3}$

$c = 0$

$d = 0$

Step 2

Найдем амплитуду $| a |$ .

Амплитуда: $1$

Step 3

Найдем период $\cos (\frac{2 π x}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим $b$ на $\frac{2 π}{3}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{2 π}{3} |}$

$\frac{2 π}{3}$ приблизительно равно $2.0943951$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{2 π}{3}}$

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{3}{2 π}$

Сократим общий множитель $2 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$2 π \frac{3}{2 π}$

Перепишем это выражение.

$3$

Step 4

Найдем сдвиг фазы, используя формулу $\frac{c}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сдвиг фазы функции можно вычислить по формуле $\frac{c}{b}$ .

Сдвиг фазы: $\frac{c}{b}$

Заменим величины $c$ и $b$ в уравнении на сдвиг фазы.

Сдвиг фазы: $\frac{0}{\frac{2 π}{3}}$

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

Сдвиг фазы: $0 (\frac{3}{2 π})$

Умножим $0$ на $\frac{3}{2 π}$ .

Сдвиг фазы: $0$

Step 5

Перечислим свойства тригонометрической функции.

Амплитуда: $1$

Период: $3$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

Step 6

Выберем несколько точек для построения графика.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем точку в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \cos (\frac{2 π (0)}{3})$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $3$ из $2 π (0)$ .

$f (0) = \cos (\frac{3 (2 π \cdot (0))}{3})$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (0) = \cos (\frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)})$

Сократим общий множитель.

$f (0) = \cos (\frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1})$

Перепишем это выражение.

$f (0) = \cos (\frac{2 π \cdot (0)}{1})$

Разделим $2 π \cdot (0)$ на $1$ .

$f (0) = \cos (2 π \cdot (0))$

Умножим $2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $0$ на $2$ .

$f (0) = \cos (0 π)$

Умножим $0$ на $π$ .

$f (0) = \cos (0)$

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (0) = 1$

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Найдем точку в $x = \frac{3}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \cos (\frac{2 π (\frac{3}{4})}{3})$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $\frac{3}{4}$ и $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = \cos (\frac{\frac{3 \cdot 2}{4} \cdot π}{3})$

Объединим $\frac{3 \cdot 2}{4}$ и $π$ .

$f (\frac{3}{4}) = \cos (\frac{\frac{3 \cdot (2 π)}{4}}{3})$

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = \cos (\frac{\frac{6 π}{4}}{3})$

Сократим выражение $\frac{6 π}{4}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $6 π$ .

$f (\frac{3}{4}) = \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3})$

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (2)}}{3})$

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3}{4}) = \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}}{3})$

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3}{4}) = \cos (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})$

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{3}{4}) = \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$f (\frac{3}{4}) = \cos (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3}{4}) = \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3}{4}) = \cos (\frac{π}{2})$

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{3}{4}) = 0$

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Найдем точку в $x = \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \cos (\frac{2 π (\frac{3}{2})}{3})$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $\frac{3}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \cos (\frac{\frac{3 \cdot 2}{2} \cdot π}{3})$

Объединим $\frac{3 \cdot 2}{2}$ и $π$ .

$f (\frac{3}{2}) = \cos (\frac{\frac{3 \cdot (2 π)}{2}}{3})$

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \cos (\frac{\frac{6 π}{2}}{3})$

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим выражение $\frac{6 π}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $6 π$ .

$f (\frac{3}{2}) = \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2}}{3})$

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (1)}}{3})$

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3}{2}) = \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 1}}{3})$

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3}{2}) = \cos (\frac{\frac{3 π}{1}}{3})$

Разделим $3 π$ на $1$ .

$f (\frac{3}{2}) = \cos (\frac{3 π}{3})$

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3}{2}) = \cos (\frac{3 π}{3})$

Разделим $π$ на $1$ .

$f (\frac{3}{2}) = \cos (π)$

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$f (\frac{3}{2}) = - \cos (0)$

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (\frac{3}{2}) = - 1 \cdot 1$

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{3}{2}) = - 1$

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Найдем точку в $x = \frac{9}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{9}{4}$ .

$f (\frac{9}{4}) = \cos (\frac{2 π (\frac{9}{4})}{3})$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $\frac{9}{4}$ и $2$ .

$f (\frac{9}{4}) = \cos (\frac{\frac{9 \cdot 2}{4} \cdot π}{3})$

Объединим $\frac{9 \cdot 2}{4}$ и $π$ .

$f (\frac{9}{4}) = \cos (\frac{\frac{9 \cdot (2 π)}{4}}{3})$

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $9$ на $2$ .

$f (\frac{9}{4}) = \cos (\frac{\frac{18 π}{4}}{3})$

Сократим выражение $\frac{18 π}{4}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $18 π$ .

$f (\frac{9}{4}) = \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3})$

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{9}{4}) = \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 (2)}}{3})$

Сократим общий множитель.

$f (\frac{9}{4}) = \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 \cdot 2}}{3})$

Перепишем это выражение.

$f (\frac{9}{4}) = \cos (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})$

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{9}{4}) = \cos (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $3$ из $9 π$ .

$f (\frac{9}{4}) = \cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Сократим общий множитель.

$f (\frac{9}{4}) = \cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Перепишем это выражение.

$f (\frac{9}{4}) = \cos (\frac{3 π}{2})$

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{9}{4}) = \cos (\frac{π}{2})$

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{9}{4}) = 0$

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Найдем точку в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \cos (\frac{2 π (3)}{3})$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$f (3) = \cos (\frac{2 π \cdot 3}{3})$

Разделим $2 π$ на $1$ .

$f (3) = \cos (2 π)$

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$f (3) = \cos (0)$

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (3) = 1$

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Перечислим точки в таблице.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 1 \\ \frac{3}{4} & 0 \\ \frac{3}{2} & - 1 \\ \frac{9}{4} & 0 \\ 3 & 1 \end{array}$

Step 7

График тригонометрической функции можно построить, используя амплитуду, период, сдвиг фазы, смещение по вертикали и точки.

Амплитуда: $1$

Период: $3$

Сдвиг фазы: нет

Смещение по вертикали: нет

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 1 \\ \frac{3}{4} & 0 \\ \frac{3}{2} & - 1 \\ \frac{9}{4} & 0 \\ 3 & 1 \end{array}$

Step 8