Тригонометрия Примеры

$\sqrt{\frac{\cos (x)}{\tan (x)}}$

Step 1

Зададим знаменатель в $\frac{\cos (x)}{\tan (x)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\tan (x) = 0$

Step 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (0)$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + 0$

Добавим $π$ и $0$ .

$x = π$

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$

Step 3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{\frac{\cos (x)}{\tan (x)}}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\frac{\cos (x)}{\tan (x)} < 0$

Step 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$\cos (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (0)$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$x = 0$

$x = π + 0$

Добавим $π$ и $0$ .

$x = π$

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$

$x = π n, π + π n$

Объединим решения.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π n, π + π n$

Найдем область определения $\frac{\cos (x)}{\tan (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Зададим знаменатель в $\frac{\cos (x)}{\tan (x)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\tan (x) = 0$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (0)$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$x = 0$

$x = π + 0$

Добавим $π$ и $0$ .

$x = π$

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$

Зададим аргумент в $\tan (x)$ равным $\frac{π}{2} + π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

${x | x \neq π n, x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

$π < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\frac{\cos (1)}{\tan (1)} < 0$

Левая часть $0.34692412$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Проверим значение на интервале $\frac{π}{2} < x < π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Выберем значение на интервале $\frac{π}{2} < x < π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{\cos (2)}{\tan (2)} < 0$

Левая часть $0.19045274$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Проверим значение на интервале $π < x < \frac{3 π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Выберем значение на интервале $π < x < \frac{3 π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{\cos (4)}{\tan (4)} < 0$

Левая часть $- 0.56454621$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Проверим значение на интервале $\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Выберем значение на интервале $\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\frac{\cos (5)}{\tan (5)} < 0$

Левая часть $- 0.08391093$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$0 < x < \frac{π}{2}$ Ложь

$\frac{π}{2} < x < π$ Ложь

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Истина

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ Истина

$0 < x < \frac{π}{2}$ Ложь

$\frac{π}{2} < x < π$ Ложь

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Истина

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ Истина

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$π + π n < x < \frac{3 π}{2} + π n$ или $\frac{3 π}{2} + π n < x < 2 π + π n$ , для любого целого числа $n$

Step 5

Зададим аргумент в $\tan (x)$ равным $\frac{π}{2} + π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Step 6

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

${x | x = π n, x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Step 7