Тригонометрия Примеры

$\sin^{2} (2 x) = 1$

Step 1

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{1}$

Step 2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\sin (2 x) = \pm 1$

Step 3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (2 x) = 1$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (2 x) = - 1$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (2 x) = 1, - 1$

Step 4

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (2 x) = 1$

$\sin (2 x) = - 1$

Step 5

Решим относительно $x$ в $\sin (2 x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x = \arcsin (1)$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$2 x = π - \frac{π}{2}$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Вычтем $π$ из $π \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Изменим порядок $π$ и $2$ .

$2 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Вычтем $π$ из $2 \cdot π$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Найдем период $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Период функции $\sin (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Step 6

Решим относительно $x$ в $\sin (2 x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x = \arcsin (- 1)$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$2 x = - \frac{π}{2}$

Разделим каждый член $2 x = - \frac{π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 x = - \frac{π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Умножим $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

Умножим $2$ на $2$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$2 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 x = \frac{3 π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Умножим $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{3 π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Найдем период $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{4}$

Период функции $\sin (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Step 7

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Step 8

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$