Тригонометрия Примеры

$\tan (- x) \csc (x)$

Step 1

Поменяем переменные местами.

$x = \tan (- y) \csc (y)$

Step 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в виде $\tan (- y) \csc (y) = x$ .

$\tan (- y) \csc (y) = x$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим $\tan (- y) \csc (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Так как $\tan (- y)$ — нечетная функция, перепишем $\tan (- y)$ в виде $- \tan (y)$ .

$- \tan (y) \csc (y) = x$

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим круглые скобки.

$- (\tan (y) \csc (y)) = x$

Выразим $- \tan (y) \csc (y)$ через синусы и косинусы.

$- (\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{1}{\sin (y)}) = x$

Сократим общие множители.

$- \frac{1}{\cos (y)} = x$

Переведем $\frac{1}{\cos (y)}$ в $\sec (y)$ .

$- \sec (y) = x$

Разделим каждый член $- \sec (y) = x$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $- \sec (y) = x$ на $- 1$ .

$\frac{- \sec (y)}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sec (y)}{1} = \frac{x}{- 1}$

Разделим $\sec (y)$ на $1$ .

$\sec (y) = \frac{x}{- 1}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{x}{- 1}$ .

$\sec (y) = - 1 \cdot x$

Перепишем $- 1 \cdot x$ в виде $- x$ .

$\sec (y) = - x$

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $y$ из-под знака секанса.

$y = arcsec (- x)$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = arcsec (- x)$

Step 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = arcsec (- x)$ обратной к $f (x) = \tan (- x) \csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Найдем значение $f^{- 1} (\tan (- x) \csc (x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\tan (- x) \csc (x)) = arcsec (- (\tan (- x) \csc (x)))$

Так как $\tan (- x)$ — нечетная функция, перепишем $\tan (- x)$ в виде $- \tan (x)$ .

$f^{- 1} (\tan (- x) \csc (x)) = arcsec (- (- \tan (x) \csc (x)))$

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим круглые скобки.

$f^{- 1} (\tan (- x) \csc (x)) = arcsec (\tan (x) \csc (x))$

Выразим $- (- \tan (x) \csc (x))$ через синусы и косинусы.

$f^{- 1} (\tan (- x) \csc (x)) = arcsec (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)})$

Сократим общие множители.

$f^{- 1} (\tan (- x) \csc (x)) = arcsec (\frac{1}{\cos (x)})$

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$f^{- 1} (\tan (- x) \csc (x)) = arcsec (\sec (x))$

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Найдем значение $f (arcsec (- x))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (arcsec (- x)) = \tan (- (arcsec (- x))) \csc (arcsec (- x))$

Так как $\tan (- arcsec (- x))$ — нечетная функция, перепишем $\tan (- arcsec (- x))$ в виде $- \tan (arcsec (- x))$ .

$f (arcsec (- x)) = - \tan (arcsec (- x)) \csc (arcsec (- x))$

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим круглые скобки.

$f (arcsec (- x)) = - (\tan (arcsec (- x)) \csc (arcsec (- x)))$

Выразим $- \tan (arcsec (- x)) \csc (arcsec (- x))$ через синусы и косинусы.

$f (arcsec (- x)) = - (\frac{\sin (arcsec (- x))}{\cos (arcsec (- x))} \cdot \frac{1}{\sin (arcsec (- x))})$

Сократим общие множители.

$f (arcsec (- x)) = - \frac{1}{\cos (arcsec (- x))}$

Переведем $\frac{1}{\cos (arcsec (- x))}$ в $\sec (arcsec (- x))$ .

$f (arcsec (- x)) = - \sec (arcsec (- x))$

Секанс и арксеканс — обратные функции.

$f (arcsec (- x)) = x$

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = arcsec (- x)$ — обратная к $f (x) = \tan (- x) \csc (x)$ .

$f^{- 1} (x) = arcsec (- x)$