Тригонометрия Примеры

$\sec (x) - \cos (x) = \tan (x) \sin (x)$

Step 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) = \tan (x) \sin (x)$

Step 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим $\tan (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) = \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) = \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) = \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) = \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 3

Умножим обе части уравнения на $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 4

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x)) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 5

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x)) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Перепишем это выражение.

$1 + \cos (x) (- \cos (x)) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 - \cos (x) \cos (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 7

Умножим $- \cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$1 - (\cos^{1} (x) \cos (x)) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$1 - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 - {\cos (x)}^{1 + 1} = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Добавим $1$ и $1$ .

$1 - \cos^{2} (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 8

Применим формулу Пифагора.

$\sin^{2} (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Step 9

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\sin^{2} (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Перепишем это выражение.

$\sin^{2} (x) = \sin^{2} (x)$

Step 10

Поскольку экспоненты равны, основания экспонент в обеих частях уравнения должны быть равны.

$| \sin (x) | = | \sin (x) |$

Step 11

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем это уравнение абсолютного значения в виде четырех уравнений без знаков модуля.

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

$- \sin (x) = \sin (x)$

$- \sin (x) = - \sin (x)$

После упрощения остается решить только два уникальных уравнения.

$\sin (x) = \sin (x)$

$\sin (x) = - \sin (x)$

Решим $\sin (x) = \sin (x)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы две функции были равны, аргументы каждой из них должны быть одинаковыми.

$x = x$

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x - x = 0$

Вычтем $x$ из $x$ .

$0 = 0$

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным.

Все вещественные числа

Решим $\sin (x) = - \sin (x)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем все члены с $\sin (x)$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $\sin (x)$ к обеим частям уравнения.

$\sin (x) + \sin (x) = 0$

Добавим $\sin (x)$ и $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) = 0$

Разделим каждый член $2 \sin (x) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 \sin (x) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $0$ на $2$ .

$\sin (x) = 0$

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Step 12

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$