Тригонометрия Примеры

$\sin (x) \cdot \cos (x) = \frac{1}{2}$

Step 1

Каждый член в $\sin (x) \cdot \cos (x) = \frac{1}{2}$ умножим на $2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим каждый член $\sin (x) \cdot \cos (x) = \frac{1}{2}$ на $2$ .

$\sin (x) \cdot \cos (x) \cdot 2 = \frac{1}{2} \cdot 2$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Изменим порядок $\sin (x) \cdot \cos (x)$ и $2$ .

$2 \cdot (\sin (x) \cdot \cos (x)) = \frac{1}{2} \cdot 2$

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2} \cdot 2$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2} \cdot 2$

Перепишем это выражение.

$\sin (2 x) = 1$

Step 2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x = \arcsin (1)$

Step 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Step 4

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Step 5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$2 x = π - \frac{π}{2}$

Step 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Вычтем $π$ из $π \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Изменим порядок $π$ и $2$ .

$2 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Вычтем $π$ из $2 \cdot π$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Step 7

Найдем период $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Step 8

Период функции $\sin (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$