Тригонометрия Примеры

$\cos (\arcsin (\frac{x}{5}))$

Step 1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}}, \frac{x}{5})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (\frac{x}{5})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}}, \frac{x}{5})$ . Следовательно, $\cos (\arcsin (\frac{x}{5}))$ равно $\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}$ .

$\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}$

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{5})}^{2}}$

Step 2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \frac{x}{5}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})}$

Step 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{(\frac{5}{5} + \frac{x}{5}) (1 - \frac{x}{5})}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{5 + x}{5} (1 - \frac{x}{5})}$

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{5 + x}{5} (\frac{5}{5} - \frac{x}{5})}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{5 + x}{5} \cdot \frac{5 - x}{5}}$

Умножим $\frac{5 + x}{5}$ на $\frac{5 - x}{5}$ .

$\sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{5 \cdot 5}}$

Умножим $5$ на $5$ .

$\sqrt{\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}}$

Step 4

Перепишем $\frac{(5 + x) (5 - x)}{25}$ в виде ${(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(5 + x) (5 - x)$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{25}}$

Вынесем полную степень $5^{2}$ из $25$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((5 + x) (5 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} ((5 + x) (5 - x))}$

Step 5

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{1}{5} \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Step 6

Объединим $\frac{1}{5}$ и $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ .

$\frac{\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}{5}$