Тригонометрия Примеры

$\tan^{2} (3 x) = 3$

Step 1

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\tan (3 x) = \pm \sqrt{3}$

Step 2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\tan (3 x) = \sqrt{3}$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\tan (3 x) = - \sqrt{3}$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\tan (3 x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Step 3

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\tan (3 x) = \sqrt{3}$

$\tan (3 x) = - \sqrt{3}$

Step 4

Решим относительно $x$ в $\tan (3 x) = \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$3 x = \arctan (\sqrt{3})$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arctan (\sqrt{3})$ : $\frac{π}{3}$ .

$3 x = \frac{π}{3}$

Разделим каждый член $3 x = \frac{π}{3}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $3 x = \frac{π}{3}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Умножим $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 3}$

Умножим $3$ на $3$ .

$x = \frac{π}{9}$

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$3 x = π + \frac{π}{3}$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$3 x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Добавим $π \cdot 3$ и $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Изменим порядок $π$ и $3$ .

$3 x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Добавим $3 \cdot π$ и $π$ .

$3 x = \frac{4 \cdot π}{3}$

Разделим каждый член $3 x = \frac{4 \cdot π}{3}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $3 x = \frac{4 \cdot π}{3}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{3}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{3}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{3}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{4 \cdot π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Умножим $\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{4 π}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{4 π}{3 \cdot 3}$

Умножим $3$ на $3$ .

$x = \frac{4 π}{9}$

Найдем период $\tan (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 3 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{π}{3}$

Период функции $\tan (3 x)$ равен $\frac{π}{3}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{3}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{4 π}{9} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$

Step 5

Решим относительно $x$ в $\tan (3 x) = - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$3 x = \arctan (- \sqrt{3})$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arctan (- \sqrt{3})$ : $- \frac{π}{3}$ .

$3 x = - \frac{π}{3}$

Разделим каждый член $3 x = - \frac{π}{3}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $3 x = - \frac{π}{3}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{3}}{3}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{3}}{3}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{3}}{3}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Умножим $- \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 3}$

Умножим $3$ на $3$ .

$x = - \frac{π}{9}$

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$3 x = - \frac{π}{3} - π$

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{3} - π$ .

$3 x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Результирующий угол $\frac{2 π}{3}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{3} - π$ на полный оборот.

$3 x = \frac{2 π}{3}$

Разделим каждый член $3 x = \frac{2 π}{3}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $3 x = \frac{2 π}{3}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{2 π}{3}}{3}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{2 π}{3}}{3}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{3}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Умножим $\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{2 π}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3 \cdot 3}$

Умножим $3$ на $3$ .

$x = \frac{2 π}{9}$

Найдем период $\tan (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 3 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{π}{3}$

Добавим $\frac{π}{3}$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $\frac{π}{3}$ к $- \frac{π}{9}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{9} + \frac{π}{3}$

Чтобы записать $\frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{9}$

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{π}{9}$

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{π \cdot 3}{9} - \frac{π}{9}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 3 - π}{9}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{9}$

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$\frac{2 π}{9}$

Перечислим новые углы.

$x = \frac{2 π}{9}$

$x = \frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$

Step 6

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{4 π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$

Step 7

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $\frac{π}{9} + \frac{π n}{3}$ и $\frac{4 π}{9} + \frac{π n}{3}$ в $\frac{π}{9} + \frac{π n}{3}$ .

$x = \frac{π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$

Объединим $\frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}$ и $\frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}$ в $\frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}$ .

$x = \frac{π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$