Основы мат. анализа Примеры

$2 y - 3 = \sqrt{3 y^{2} - 10 y + 12}$

Step 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\sqrt{3 y^{2} - 10 y + 12} = 2 y - 3$

Step 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{3 y^{2} - 10 y + 12}}^{2} = {(2 y - 3)}^{2}$

Step 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 y^{2} - 10 y + 12}$ в виде ${(3 y^{2} - 10 y + 12)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 y^{2} - 10 y + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 y - 3)}^{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим ${({(3 y^{2} - 10 y + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перемножим экспоненты в ${({(3 y^{2} - 10 y + 12)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y^{2} - 10 y + 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 y - 3)}^{2}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

${(3 y^{2} - 10 y + 12)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 y - 3)}^{2}$

Перепишем это выражение.

${(3 y^{2} - 10 y + 12)}^{1} = {(2 y - 3)}^{2}$

Упростим.

$3 y^{2} - 10 y + 12 = {(2 y - 3)}^{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим ${(2 y - 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем ${(2 y - 3)}^{2}$ в виде $(2 y - 3) (2 y - 3)$ .

$3 y^{2} - 10 y + 12 = (2 y - 3) (2 y - 3)$

Развернем $(2 y - 3) (2 y - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y^{2} - 10 y + 12 = 2 y (2 y - 3) - 3 (2 y - 3)$

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y^{2} - 10 y + 12 = 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 3 - 3 (2 y - 3)$

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y^{2} - 10 y + 12 = 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 3 - 3 (2 y) - 3 \cdot - 3$

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 y^{2} - 10 y + 12 = 2 \cdot 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 3 - 3 (2 y) - 3 \cdot - 3$

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $y$ .

$3 y^{2} - 10 y + 12 = 2 \cdot 2 (y \cdot y) + 2 y \cdot - 3 - 3 (2 y) - 3 \cdot - 3$

Умножим $y$ на $y$ .

$3 y^{2} - 10 y + 12 = 2 \cdot 2 y^{2} + 2 y \cdot - 3 - 3 (2 y) - 3 \cdot - 3$

Умножим $2$ на $2$ .

$3 y^{2} - 10 y + 12 = 4 y^{2} + 2 y \cdot - 3 - 3 (2 y) - 3 \cdot - 3$

Умножим $- 3$ на $2$ .

$3 y^{2} - 10 y + 12 = 4 y^{2} - 6 y - 3 (2 y) - 3 \cdot - 3$

Умножим $2$ на $- 3$ .

$3 y^{2} - 10 y + 12 = 4 y^{2} - 6 y - 6 y - 3 \cdot - 3$

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$3 y^{2} - 10 y + 12 = 4 y^{2} - 6 y - 6 y + 9$

Вычтем $6 y$ из $- 6 y$ .

$3 y^{2} - 10 y + 12 = 4 y^{2} - 12 y + 9$

Step 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $4 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} - 10 y + 12 - 4 y^{2} = - 12 y + 9$

Добавим $12 y$ к обеим частям уравнения.

$3 y^{2} - 10 y + 12 - 4 y^{2} + 12 y = 9$

Вычтем $4 y^{2}$ из $3 y^{2}$ .

$- y^{2} - 10 y + 12 + 12 y = 9$

Добавим $- 10 y$ и $12 y$ .

$- y^{2} + 2 y + 12 = 9$

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$- y^{2} + 2 y + 12 - 9 = 0$

Вычтем $9$ из $12$ .

$- y^{2} + 2 y + 3 = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{2} + 2 y + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{2}$ .

$- (y^{2}) + 2 y + 3 = 0$

Вынесем множитель $- 1$ из $2 y$ .

$- (y^{2}) - (- 2 y) + 3 = 0$

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$- (y^{2}) - (- 2 y) - 1 \cdot - 3 = 0$

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y^{2}) - (- 2 y)$ .

$- (y^{2} - 2 y) - 1 \cdot - 3 = 0$

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y^{2} - 2 y) - 1 (- 3)$ .

$- (y^{2} - 2 y - 3) = 0$

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разложим $y^{2} - 2 y - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((y - 3) (y + 1)) = 0$

Избавимся от ненужных скобок.

$- (y - 3) (y + 1) = 0$

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 3 = 0$

$y + 1 = 0$

Приравняем $y - 3$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $y - 3$ к $0$ .

$y - 3 = 0$

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y = 3$

Приравняем $y + 1$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $y + 1$ к $0$ .

$y + 1 = 0$

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = - 1$

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (y - 3) (y + 1) = 0$ верно.

$y = 3, - 1$

Step 5

Исключим решения, которые не делают $2 y - 3 = \sqrt{3 y^{2} - 10 y + 12}$ истинным.

$y = 3$