Основы мат. анализа Примеры

$2 x - 8 \geq - 3 x^{2}$

Step 1

Добавим $3 x^{2}$ к обеим частям неравенства.

$2 x - 8 + 3 x^{2} \geq 0$

Step 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$2 x - 8 + 3 x^{2} = 0$

Step 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} + 2 x - 8 = 0$

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 8 = 0$

Запишем $2$ как $- 4$ плюс $6$

$3 x^{2} + (- 4 + 6) x - 8 = 0$

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 4 x + 6 x - 8 = 0$

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} - 4 x) + 6 x - 8 = 0$

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (3 x - 4) + 2 (3 x - 4) = 0$

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 4$ .

$(3 x - 4) (x + 2) = 0$

Step 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Step 5

Приравняем $3 x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $3 x - 4$ к $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Решим $3 x - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 4$

Разделим каждый член $3 x = 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $3 x = 4$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Step 6

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Step 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x - 4) (x + 2) = 0$ верно.

$x = \frac{4}{3}, - 2$

Step 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < \frac{4}{3}$

$x > \frac{4}{3}$

Step 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$2 (- 4) - 8 \geq - 3 {(- 4)}^{2}$

Левая часть $- 16$ больше правой части $- 48$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Проверим значение на интервале $- 2 < x < \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Выберем значение на интервале $- 2 < x < \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$2 (0) - 8 \geq - 3 {(0)}^{2}$

Левая часть $- 8$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Проверим значение на интервале $x > \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Выберем значение на интервале $x > \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$2 (4) - 8 \geq - 3 {(4)}^{2}$

Левая часть $0$ больше правой части $- 48$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < \frac{4}{3}$ Ложь

$x > \frac{4}{3}$ Истина

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < \frac{4}{3}$ Ложь

$x > \frac{4}{3}$ Истина

Step 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 2$ или $x \geq \frac{4}{3}$

Step 11

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 2] \cup [\frac{4}{3}, \infty)$

Step 12