Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} - y^{2} = 1$

Step 1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- y^{2} = 1 - x^{2}$

Step 2

Разделим каждый член $- y^{2} = 1 - x^{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $- y^{2} = 1 - x^{2}$ на $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $1$ на $- 1$ .

$y^{2} = - 1 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y^{2} = - 1 + \frac{x^{2}}{1}$

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = - 1 + x^{2}$

Step 3

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$

Step 4

Упростим $\pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 1^{2} + x^{2}}$

Изменим порядок $- 1^{2}$ и $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$y = \pm \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Step 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Step 6

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(x + 1) (x - 1) \geq 0$

Step 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x - 1) \geq 0$ верно.

$x = - 1, 1$

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$((- 4) + 1) ((- 4) - 1) \geq 0$

Левая часть $15$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$((0) + 1) ((0) - 1) \geq 0$

Левая часть $- 1$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$((4) + 1) ((4) - 1) \geq 0$

Левая часть $15$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 1$ или $x \geq 1$

Step 8

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq - 1, x \geq 1}$

Step 9

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \in ℝ}$

Step 10

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, - 1] \cup [1, \infty), {x | x \leq - 1, x \geq 1}$

Диапазон: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Step 11