Основы мат. анализа Примеры

$\ln (x - 2)$

Step 1

Поменяем переменные местами.

$x = \ln (y - 2)$

Step 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в виде $\ln (y - 2) = x$ .

$\ln (y - 2) = x$

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (y - 2)} = e^{x}$

Перепишем $\ln (y - 2) = x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{x} = y - 2$

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в виде $y - 2 = e^{x}$ .

$y - 2 = e^{x}$

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = e^{x} + 2$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{x} + 2$

Step 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = e^{x} + 2$ обратной к $f (x) = \ln (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Найдем значение $f^{- 1} (\ln (x - 2))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 2)) = e^{\ln (x - 2)} + 2$

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f^{- 1} (\ln (x - 2)) = x - 2 + 2$

Объединим противоположные члены в $x - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 2)) = x + 0$

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 2)) = x$

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Найдем значение $f (e^{x} + 2)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (e^{x} + 2) = \ln ((e^{x} + 2) - 2)$

Объединим противоположные члены в $(e^{x} + 2) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (e^{x} + 2) = \ln (e^{x} + 0)$

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$f (e^{x} + 2) = \ln (e^{x})$

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x$ из степени.

$f (e^{x} + 2) = x \ln (e)$

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (e^{x} + 2) = x \cdot 1$

Умножим $x$ на $1$ .

$f (e^{x} + 2) = x$

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = e^{x} + 2$ — обратная к $f (x) = \ln (x - 2)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x} + 2$