Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} - x \geq 2$

Step 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - x = 2$

Step 2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - x - 2 = 0$

Step 3

Разложим $x^{2} - x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) (x + 1) = 0$

Step 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Step 5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Step 6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Step 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 2, - 1$

Step 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$x > 2$

Step 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

${(- 4)}^{2} - (- 4) \geq 2$

Левая часть $20$ больше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} - (0) \geq 2$

Левая часть $0$ меньше правой части $2$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

${(4)}^{2} - (4) \geq 2$

Левая часть $12$ больше правой части $2$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

Step 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 1$ или $x \geq 2$

Step 11

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 1] \cup [2, \infty)$

Step 12