Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y + 9 = 0$

Step 1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y = - 9$

Step 2

Составим полный квадрат для $4 x^{2} - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 4}{4}$

Сократим общий множитель $- 4$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

Сократим общий множитель.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{1}$

Разделим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Умножим $4$ на $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Разделим $64$ на $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 0 - 4$

Вычтем $4$ из $0$ .

$e = - 4$

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $4 {(x - 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - 4$

Step 3

Подставим $4 {(x - 1)}^{2} - 4$ вместо $4 x^{2} - 8 x$ в уравнение $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y = - 9$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - 4 + y^{2} + 6 y = - 9$

Step 4

Перенесем $- 4$ в правую часть уравнения, прибавив $4$ к обеим частям.

$4 {(x - 1)}^{2} + y^{2} + 6 y = - 9 + 4$

Step 5

Составим полный квадрат для $y^{2} + 6 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 6$

$c = 0$

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot 1}$

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Перепишем это выражение.

$d = \frac{3}{1}$

Разделим $3$ на $1$ .

$d = 3$

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 1}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $6$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Разделим $36$ на $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Умножим $- 1$ на $9$ .

$e = 0 - 9$

Вычтем $9$ из $0$ .

$e = - 9$

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y + 3)}^{2} - 9$ .

${(y + 3)}^{2} - 9$

Step 6

Подставим ${(y + 3)}^{2} - 9$ вместо $y^{2} + 6 y$ в уравнение $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y = - 9$ .

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} - 9 = - 9 + 4$

Step 7

Перенесем $- 9$ в правую часть уравнения, прибавив $9$ к обеим частям.

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = - 9 + 4 + 9$

Step 8

Упростим $- 9 + 4 + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $- 9$ и $4$ .

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = - 5 + 9$

Добавим $- 5$ и $9$ .

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4$

Step 9

Разделим каждый член на $4$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Step 10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

${(x - 1)}^{2} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} = 1$