Основы мат. анализа Примеры

$(1, 2)$ , $(2, 9)$

Step 1

Уравнение для нахождения угла между двумя векторами $θ$ выражает математически, что скалярное произведение двух векторов равно произведению абсолютных величин векторов и косинуса угла между ними.

$u \cdot v = | u | | v | c o s (θ)$

Step 2

Решим уравнение относительно $θ$ .

$θ = a r c \cdot c o s (\frac{u \cdot v}{| u | | v |})$

Step 3

Найдем скалярное произведение векторов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы найти скалярное произведение, необходимо вычислить сумму произведений соответствующих компонентов векторов.

$u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2}$

Подставить компоненты векторов в выражение.

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 9$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Избавимся от скобок.

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 9$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 2 \cdot 9$

Умножим $2$ на $9$ .

$2 + 18$

Добавим $2$ и $18$ .

$20$

Step 4

Найдем абсолютную величину $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы найти модуль вектора, вычислим квадратный корень суммы его компонентов, возведенных в квадрат.

$\sqrt{{(u_{1})}^{2} + {(u_{2})}^{2}}$

Подставим компоненты вектора в выражение.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(2)}^{2}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Единица в любой степени равна единице.

$\sqrt{1 + {(2)}^{2}}$

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{1 + 4}$

Добавим $1$ и $4$ .

$\sqrt{5}$

Step 5

Найдем абсолютную величину $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы найти модуль вектора, вычислим квадратный корень суммы его компонентов, возведенных в квадрат.

$\sqrt{{(u_{1})}^{2} + {(u_{2})}^{2}}$

Подставим компоненты вектора в выражение.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(9)}^{2}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 + {(9)}^{2}}$

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 + 81}$

Добавим $4$ и $81$ .

$\sqrt{85}$

Step 6

Подставим значения в уравнение для угла между векторами.

$θ = \arccos (\frac{20}{(\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{85})})$

Step 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{5 \cdot 85}})$

Умножим $5$ на $85$ .

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{425}})$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $425$ в виде $5^{2} \cdot 17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $25$ из $425$ .

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{25 (17)}})$

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{5^{2} \cdot 17}})$

Вынесем члены из-под знака корня.

$\arccos (\frac{20}{5 \sqrt{17}})$

Сократим общий множитель $20$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $5$ из $20$ .

$\arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $5$ из $5 \sqrt{17}$ .

$\arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 (\sqrt{17})})$

Сократим общий множитель.

$\arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

Перепишем это выражение.

$\arccos (\frac{4}{\sqrt{17}})$

Умножим $\frac{4}{\sqrt{17}}$ на $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\arccos (\frac{4}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}})$

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{4}{\sqrt{17}}$ на $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}})$

Возведем $\sqrt{17}$ в степень $1$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} \sqrt{17}})$

Возведем $\sqrt{17}$ в степень $1$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} {\sqrt{17}}^{1}})$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1 + 1}})$

Добавим $1$ и $1$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{2}})$

Перепишем ${\sqrt{17}}^{2}$ в виде $17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{17}$ в виде $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

Перепишем это выражение.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{1}})$

Найдем экспоненту.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$

Найдем значение $\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$ .

$0.24497866$