Основы мат. анализа Примеры

$\log_{2} (3) \cdot \log_{3} (4) \cdot \log_{4} (5) \cdot \log_{5} (6) \cdot \log_{6} (7) \cdot \log_{7} (8) \cdot \log_{8} (9)$

Step 1

Умножим $\log_{2} (3) \log_{3} (4) \log_{4} (5) \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8)$ на $\log_{8} (9)$ .

$\log_{2} (3) \log_{3} (4) \log_{4} (5) \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Step 2

Перепишем $\log_{2} (3)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{3} (4) \log_{4} (5) \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\log (3)}{\log (2)} \log_{3} (4) \log_{4} (5) \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Step 3

Перепишем $\log_{3} (4)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\frac{\log (3)}{\log (2)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{4} (5) \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (4)}{\log (3)} \log_{4} (5) \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Step 4

Сократим общий множитель $\log (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (4)}{\log (3)} \log_{4} (5) \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\log (2)} \log (4) \log_{4} (5) \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Step 5

Объединим $\frac{1}{\log (2)}$ и $\log (4)$ .

$\frac{\log (4)}{\log (2)} \log_{4} (5) \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Step 6

Перепишем $\log (4)$ в виде $\log (2^{2})$ .

$\frac{\log (2^{2})}{\log (2)} \log_{4} (5) \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Step 7

Развернем $\log (2^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\frac{2 \log (2)}{\log (2)} \log_{4} (5) \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Step 8

Сократим общий множитель $\log (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \log (2)}{\log (2)} \log_{4} (5) \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \log_{4} (5) \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Step 9

Перепишем $\log_{4} (5)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$2 \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$2 \frac{\log (5)}{\log (4)} \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Step 10

Умножим $2 \frac{\log (5)}{\log (4)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $2$ и $\frac{\log (5)}{\log (4)}$ .

$\frac{2 \log (5)}{\log (4)} \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Упростим $2 \log (5)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\log (5^{2})}{\log (4)} \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Step 11

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{\log (25)}{\log (4)} \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Step 12

Перепишем $\log (25)$ в виде $\log (5^{2})$ .

$\frac{\log (5^{2})}{\log (4)} \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Step 13

Развернем $\log (5^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\frac{2 \log (5)}{\log (4)} \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Step 14

Перепишем $\log (4)$ в виде $\log (2^{2})$ .

$\frac{2 \log (5)}{\log (2^{2})} \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Step 15

Развернем $\log (2^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\frac{2 \log (5)}{2 \log (2)} \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Step 16

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \log (5)}{2 \log (2)} \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Перепишем это выражение.

$\frac{\log (5)}{\log (2)} \log_{5} (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Step 17

Перепишем $\log_{5} (6)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\frac{\log (5)}{\log (2)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\log (5)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (6)}{\log (5)} \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Step 18

Сократим общий множитель $\log (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{\log (5)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (6)}{\log (5)} \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\log (2)} \log (6) \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Step 19

Объединим $\frac{1}{\log (2)}$ и $\log (6)$ .

$\frac{\log (6)}{\log (2)} \log_{6} (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Step 20

Перепишем $\log_{6} (7)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\frac{\log (6)}{\log (2)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\log (6)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (7)}{\log (6)} \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Step 21

Сократим общий множитель $\log (6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{\log (6)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (7)}{\log (6)} \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\log (2)} \log (7) \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Step 22

Объединим $\frac{1}{\log (2)}$ и $\log (7)$ .

$\frac{\log (7)}{\log (2)} \log_{7} (8) \log_{8} (9)$

Step 23

Перепишем $\log_{7} (8)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\frac{\log (7)}{\log (2)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{8} (9)$

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\log (7)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (8)}{\log (7)} \log_{8} (9)$

Step 24

Сократим общий множитель $\log (7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{\log (7)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (8)}{\log (7)} \log_{8} (9)$

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\log (2)} \log (8) \log_{8} (9)$

Step 25

Объединим $\frac{1}{\log (2)}$ и $\log (8)$ .

$\frac{\log (8)}{\log (2)} \log_{8} (9)$

Step 26

Перепишем $\log (8)$ в виде $\log (2^{3})$ .

$\frac{\log (2^{3})}{\log (2)} \log_{8} (9)$

Step 27

Развернем $\log (2^{3})$ , вынося $3$ из логарифма.

$\frac{3 \log (2)}{\log (2)} \log_{8} (9)$

Step 28

Сократим общий множитель $\log (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \log (2)}{\log (2)} \log_{8} (9)$

Разделим $3$ на $1$ .

$3 \log_{8} (9)$

Step 29

Перепишем $\log_{8} (9)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$3 \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$3 \frac{\log (9)}{\log (8)}$

Step 30

Умножим $3 \frac{\log (9)}{\log (8)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $3$ и $\frac{\log (9)}{\log (8)}$ .

$\frac{3 \log (9)}{\log (8)}$

Упростим $3 \log (9)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\frac{\log (9^{3})}{\log (8)}$

Step 31

Возведем $9$ в степень $3$ .

$\frac{\log (729)}{\log (8)}$

Step 32

Перепишем $\log (729)$ в виде $\log (3^{6})$ .

$\frac{\log (3^{6})}{\log (8)}$

Step 33

Развернем $\log (3^{6})$ , вынося $6$ из логарифма.

$\frac{6 \log (3)}{\log (8)}$

Step 34

Перепишем $\log (8)$ в виде $\log (2^{3})$ .

$\frac{6 \log (3)}{\log (2^{3})}$

Step 35

Развернем $\log (2^{3})$ , вынося $3$ из логарифма.

$\frac{6 \log (3)}{3 \log (2)}$

Step 36

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $3$ из $6 \log (3)$ .

$\frac{3 (2 \log (3))}{3 \log (2)}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $3$ из $3 \log (2)$ .

$\frac{3 (2 \log (3))}{3 (\log (2))}$

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (2 \log (3))}{3 \log (2)}$

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \log (3)}{\log (2)}$

Step 37

Упростим $2 \log (3)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\log (3^{2})}{\log (2)}$

Step 38

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\log (9)}{\log (2)}$

Step 39

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\log (9)}{\log (2)}$

Десятичная форма:

$3.16992500 \dots$