Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = | \log_{2} (x + 2) |$

Step 1

Найдем вершину функции абсолютного значения. В этом случае вершина $y = | \log_{2} (x + 2) |$ лежит в точке $(- 1, 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы найти координату $x$ вершины, зададим абсолютное значение $\log_{2} (x + 2)$ равным $0$ . В данном случае $\log_{2} (x + 2) = 0$ .

$\log_{2} (x + 2) = 0$

Решим уравнение $\log_{2} (x + 2) = 0$ , чтобы найти координату $x$ вершины графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $\log_{2} (x + 2) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{0} = x + 2$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в виде $x + 2 = 2^{0}$ .

$x + 2 = 2^{0}$

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x + 2 = 1$

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = 1 - 2$

Вычтем $2$ из $1$ .

$x = - 1$

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$y = | \log_{2} ((- 1) + 2) |$

Упростим $| \log_{2} ((- 1) + 2) |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $- 1$ и $2$ .

$y = | \log_{2} (1) |$

Логарифм $1$ по основанию $2$ равен $0$ .

$y = | 0 |$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$y = 0$

Вершина графика абсолютного значения находится в точке $(- 1, 0)$ .

$(- 1, 0)$

Step 2

Найдем область определения $f (x) = | \log_{2} (x + 2) |$ , чтобы можно было выбрать список значений $x$ и получить список точек, которые помогут составить график функции абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Зададим аргумент в $\log_{2} (x + 2)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 2 > 0$

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$x > - 2$

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- 2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > - 2}$

Интервальное представление:

$(- 2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > - 2}$

Step 3

Для каждого значения $x$ имеется одно значение $y$ . Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения, находящиеся вблизи значения $x$ , являющегося вершиной графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим значение $x$ $0$ в $f (x) = | \log_{2} (x + 2) |$ . В данном случае получится точка $(0, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = | \log_{2} ((0) + 2) |$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $0$ и $2$ .

$f (0) = | \log_{2} (2) |$

Логарифм $2$ по основанию $2$ равен $1$ .

$f (0) = | 1 |$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$f (0) = 1$

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = | \log_{2} (x + 2) |$ . В данном случае получится точка $(1, \log_{2} (3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = | \log_{2} ((1) + 2) |$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $1$ и $2$ .

$f (1) = | \log_{2} (3) |$

$\log_{2} (3)$ приблизительно равно $1.5849625$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$f (1) = \log_{2} (3)$

Окончательный ответ: $\log_{2} (3)$ .

$y = \log_{2} (3)$

График функции абсолютного значения можно построить по точкам около вершины $(- 1, 0), (0, 1), (1, 1.58)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1.58 \end{array}$

Step 4