Основы мат. анализа Примеры

$y = - 3 x^{6} + 2 x^{4} + x^{2}$

Step 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$0 = - 3 x^{6} + 2 x^{4} + x^{2}$

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в виде $- 3 x^{6} + 2 x^{4} + x^{2} = 0$ .

$- 3 x^{6} + 2 x^{4} + x^{2} = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $- x^{2}$ из $- 3 x^{6} + 2 x^{4} + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $- x^{2}$ из $- 3 x^{6}$ .

$- x^{2} (3 x^{4}) + 2 x^{4} + x^{2} = 0$

Вынесем множитель $- x^{2}$ из $2 x^{4}$ .

$- x^{2} (3 x^{4}) - x^{2} (- 2 x^{2}) + x^{2} = 0$

Вынесем множитель $- x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- x^{2} (3 x^{4}) - x^{2} (- 2 x^{2}) - x^{2} \cdot - 1 = 0$

Вынесем множитель $- x^{2}$ из $- x^{2} (3 x^{4}) - x^{2} (- 2 x^{2})$ .

$- x^{2} (3 x^{4} - 2 x^{2}) - x^{2} \cdot - 1 = 0$

Вынесем множитель $- x^{2}$ из $- x^{2} (3 x^{4} - 2 x^{2}) - x^{2} \cdot - 1$ .

$- x^{2} (3 x^{4} - 2 x^{2} - 1) = 0$

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x^{2} (3 {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 1) = 0$

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- x^{2} (3 u^{2} - 2 u - 1) = 0$

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ , а сумма — $b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 u$ .

$- x^{2} (3 u^{2} - 2 u - 1) = 0$

Запишем $- 2$ как $1$ плюс $- 3$

$- x^{2} (3 u^{2} + (1 - 3) u - 1) = 0$

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} (3 u^{2} + 1 u - 3 u - 1) = 0$

Умножим $u$ на $1$ .

$- x^{2} (3 u^{2} + u - 3 u - 1) = 0$

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- x^{2} ((3 u^{2} + u) - 3 u - 1) = 0$

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- x^{2} (u (3 u + 1) - (3 u + 1)) = 0$

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u + 1$ .

$- x^{2} ((3 u + 1) (u - 1)) = 0$

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- x^{2} ((3 x^{2} + 1) (x^{2} - 1)) = 0$

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- x^{2} ((3 x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$- x^{2} ((3 x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Избавимся от ненужных скобок.

$- x^{2} ((3 x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Избавимся от ненужных скобок.

$- x^{2} (3 x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$3 x^{2} + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Приравняем $3 x^{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $3 x^{2} + 1$ к $0$ .

$3 x^{2} + 1 = 0$

Решим $3 x^{2} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} = - 1$

Разделим каждый член $3 x^{2} = - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $3 x^{2} = - 1$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $- \frac{1}{3}$ в виде $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Единица в любой степени равна единице.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Перепишем это выражение.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Найдем экспоненту.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Окончательным решением являются все значения, при которых $- x^{2} (3 x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}, - 1, 1$

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(0, 0), (- 1, 0), (1, 0)$

Step 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

$y = - 3 {(0)}^{6} + 2 {(0)}^{4} + {(0)}^{2}$

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Избавимся от скобок.

$y = - 3 \cdot 0^{6} + 2 {(0)}^{4} + {(0)}^{2}$

Избавимся от скобок.

$y = - 3 \cdot 0^{6} + 2 \cdot 0^{4} + {(0)}^{2}$

Избавимся от скобок.

$y = - 3 \cdot 0^{6} + 2 \cdot 0^{4} + 0^{2}$

Избавимся от скобок.

$y = - 3 {(0)}^{6} + 2 {(0)}^{4} + {(0)}^{2}$

Упростим $- 3 {(0)}^{6} + 2 {(0)}^{4} + {(0)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = - 3 \cdot 0 + 2 {(0)}^{4} + {(0)}^{2}$

Умножим $- 3$ на $0$ .

$y = 0 + 2 {(0)}^{4} + {(0)}^{2}$

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 + 2 \cdot 0 + {(0)}^{2}$

Умножим $2$ на $0$ .

$y = 0 + 0 + {(0)}^{2}$

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 0 + 0 + 0$

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0 + 0$

Добавим $0$ и $0$ .

$y = 0$

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 0)$

Step 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(0, 0), (- 1, 0), (1, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 0)$

Step 4