Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 x^{2} + 5$

Step 1

Запишем $f (x) = 2 x^{2} + 5$ в виде уравнения.

$y = 2 x^{2} + 5$

Step 2

Поменяем переменные местами.

$x = 2 y^{2} + 5$

Step 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в виде $2 y^{2} + 5 = x$ .

$2 y^{2} + 5 = x$

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 y^{2} = x - 5$

Разделим каждый член $2 y^{2} = x - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 y^{2} = x - 5$ на $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 5}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 5}{2}$

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 5}{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = \frac{x}{2} - \frac{5}{2}$

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2} - \frac{5}{2}}$

Упростим $\pm \sqrt{\frac{x}{2} - \frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 5}{2}}$

Перепишем $\sqrt{\frac{x - 5}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}}$

Умножим $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2}$

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x - 5) \cdot 2}}{2}$

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(x - 5) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Step 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Step 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ обратной к $f (x) = 2 x^{2} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = 2 x^{2} + 5$ и $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ и сравним их.

Найдем множество значений $f (x) = 2 x^{2} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[5, \infty)$

Найдем область определения $\frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 (x - 5)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 (x - 5) \geq 0$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 (x - 5) \geq 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 (x - 5) \geq 0$ на $2$ .

$\frac{2 (x - 5)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x - 5)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Разделим $x - 5$ на $1$ .

$x - 5 \geq \frac{0}{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $0$ на $2$ .

$x - 5 \geq 0$

Добавим $5$ к обеим частям неравенства.

$x \geq 5$

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[5, \infty)$

Найдем область определения $f (x) = 2 x^{2} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = 2 x^{2} + 5$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ , представляет область определения $f (x) = 2 x^{2} + 5$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ — обратная к $f (x) = 2 x^{2} + 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Step 6