Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \sqrt{2 x - 3} + 3 - x$

Step 1

Приравняем $\sqrt{2 x - 3} + 3 - x$ к $0$ .

$\sqrt{2 x - 3} + 3 - x = 0$

Step 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем все члены без $\sqrt{2 x - 3}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{2 x - 3} - x = - 3$

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{2 x - 3} = - 3 + x$

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 x - 3}}^{2} = {(- 3 + x)}^{2}$

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x - 3}$ в виде ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 + x)}^{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим ${({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перемножим экспоненты в ${({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3 + x)}^{2}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3 + x)}^{2}$

Перепишем это выражение.

${(2 x - 3)}^{1} = {(- 3 + x)}^{2}$

Упростим.

$2 x - 3 = {(- 3 + x)}^{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим ${(- 3 + x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем ${(- 3 + x)}^{2}$ в виде $(- 3 + x) (- 3 + x)$ .

$2 x - 3 = (- 3 + x) (- 3 + x)$

Развернем $(- 3 + x) (- 3 + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - 3 = - 3 (- 3 + x) + x (- 3 + x)$

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - 3 = - 3 \cdot - 3 - 3 x + x (- 3 + x)$

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - 3 = - 3 \cdot - 3 - 3 x + x \cdot - 3 + x \cdot x$

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$2 x - 3 = 9 - 3 x + x \cdot - 3 + x \cdot x$

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$2 x - 3 = 9 - 3 x - 3 \cdot x + x \cdot x$

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x - 3 = 9 - 3 x - 3 x + x^{2}$

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$2 x - 3 = 9 - 6 x + x^{2}$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$9 - 6 x + x^{2} = 2 x - 3$

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$9 - 6 x + x^{2} - 2 x = - 3$

Вычтем $2 x$ из $- 6 x$ .

$9 + x^{2} - 8 x = - 3$

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$9 + x^{2} - 8 x + 3 = 0$

Добавим $9$ и $3$ .

$x^{2} - 8 x + 12 = 0$

Разложим $x^{2} - 8 x + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $- 8$ .

$- 6, - 2$

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 6) (x - 2) = 0$

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 2 = 0$

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 6) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 6, 2$

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{2 x - 3} + 3 - x = 0$ истинным.

$x = 6$

Step 3