Основы мат. анализа Примеры

$\log_{3} (x + 4) + \log_{3} (x - 4) = 2$

Step 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} ((x + 4) (x - 4)) = 2$

Развернем $(x + 4) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{3} (x (x - 4) + 4 (x - 4)) = 2$

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{3} (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4)) = 2$

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{3} (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4) = 2$

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 4$ и $4 x$ .

$\log_{3} (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4) = 2$

Добавим $- 4 x$ и $4 x$ .

$\log_{3} (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4) = 2$

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$\log_{3} (x \cdot x + 4 \cdot - 4) = 2$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{3} (x^{2} + 4 \cdot - 4) = 2$

Умножим $4$ на $- 4$ .

$\log_{3} (x^{2} - 16) = 2$

Step 2

Перепишем $\log_{3} (x^{2} - 16) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$3^{2} = x^{2} - 16$

Step 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в виде $x^{2} - 16 = 3^{2}$ .

$x^{2} - 16 = 3^{2}$

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x^{2} - 16 = 9$

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 9 + 16$

Добавим $9$ и $16$ .

$x^{2} = 25$

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{25}$

Упростим $\pm \sqrt{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 5$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 5$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 5$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 5, - 5$

Step 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{3} (x + 4) + \log_{3} (x - 4) = 2$ истинным.

$x = 5$