Основы мат. анализа Примеры

$4 \cos^{2} (x - 1) = 0$

Step 1

Разделим каждый член $4 \cos^{2} (x - 1) = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $4 \cos^{2} (x - 1) = 0$ на $4$ .

$\frac{4 \cos^{2} (x - 1)}{4} = \frac{0}{4}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cos^{2} (x - 1)}{4} = \frac{0}{4}$

Разделим $\cos^{2} (x - 1)$ на $1$ .

$\cos^{2} (x - 1) = \frac{0}{4}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $0$ на $4$ .

$\cos^{2} (x - 1) = 0$

Step 2

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\cos (x - 1) = \pm \sqrt{0}$

Step 3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\cos (x - 1) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\cos (x - 1) = \pm 0$

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$\cos (x - 1) = 0$

Step 4

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x - 1 = \arccos (0)$

Step 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x - 1 = \frac{π}{2}$

Step 6

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{π}{2} + 1$

Step 7

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x - 1 = 2 π - \frac{π}{2}$

Step 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x - 1 = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x - 1 = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$x - 1 = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $2$ .

$x - 1 = \frac{4 π - π}{2}$

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x - 1 = \frac{3 π}{2}$

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{3 π}{2} + 1$

Step 9

Найдем период $\cos (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Step 10

Период функции $\cos (x - 1)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 1 + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 1 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Step 11

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + 1 + π n$ , для любого целого $n$