Основы мат. анализа Примеры

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Step 1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$2 x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Step 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$2 x = \frac{π}{4}$

Step 3

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{4}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{4}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Умножим $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{π}{8}$

Step 4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$2 x = 2 π - \frac{π}{4}$

Step 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Умножим $4$ на $2$ .

$2 x = \frac{8 π - π}{4}$

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$2 x = \frac{7 π}{4}$

Разделим каждый член $2 x = \frac{7 π}{4}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 x = \frac{7 π}{4}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Умножим $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{7 π}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 2}$

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{7 π}{8}$

Step 6

Найдем период $\cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Step 7

Период функции $\cos (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , для любого целого $n$