Основы мат. анализа Примеры

$\sin (2 x) + \cos (x) = 0$

Step 1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$2 \sin (x) \cos (x) + \cos (x) = 0$

Step 2

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x) + \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) = 0$

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) = 0$

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{1} (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 = 0$

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1$ .

$\cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$

Step 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Step 4

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ .

$\cos (x) = 0$

Решим $\cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Step 5

Приравняем $2 \sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $2 \sin (x) + 1$ к $0$ .

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Решим $2 \sin (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 \sin (x) = - 1$

Разделим каждый член $2 \sin (x) = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 \sin (x) = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arcsin (- \frac{1}{2})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Результирующий угол $\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{7 π}{6}$

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{6}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Перечислим новые углы.

$x = \frac{11 π}{6}$

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Step 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $\cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Step 7

Объединим $\frac{π}{2} + 2 π n$ и $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ в $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$