Основы мат. анализа Примеры

$\tan (195)$

Step 1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\tan (15)$

Step 2

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\tan (45 - 30)$

Step 3

Выделим отрицательную часть.

$\tan (45 - (30))$

Step 4

Применим формулу для разности углов.

$\frac{\tan (45) - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)}$

Step 5

Точное значение $\tan (45)$ : $1$ .

$\frac{1 - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)}$

Step 6

Точное значение $\tan (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)}$

Step 7

Точное значение $\tan (45)$ : $1$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (30)}$

Step 8

Точное значение $\tan (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Step 9

Упростим $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим числитель и знаменатель сложной дроби на $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Объединим.

$\frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ в числитель.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot 1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Сократим общий множитель.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Перепишем это выражение.

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Умножим $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ на $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$

Умножим $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ на $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}$

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Упростим.

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $3 - \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Возведем $3 - \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Перепишем ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Развернем $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Умножим $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6}$

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6}$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6}$

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6}$

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Перепишем это выражение.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6}$

Найдем экспоненту.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Добавим $9$ и $3$ .

$\frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6}$

Вычтем $3 \sqrt{3}$ из $- 3 \sqrt{3}$ .

$\frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Сократим общий множитель $12 - 6 \sqrt{3}$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$\frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Вынесем множитель $6$ из $- 6 \sqrt{3}$ .

$\frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6}$

Вынесем множитель $6$ из $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)}$

Сократим общий множитель.

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Перепишем это выражение.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Разделим $2 - \sqrt{3}$ на $1$ .

$2 - \sqrt{3}$

Step 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 - \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$0.26794919 \dots$