Линейная алгебра Примеры

$a [\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \end{array}] + b [\begin{array}{c} 3 \\ - 2 \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}]$

Step 1

Ядром отображения называется вектор (прообраз), который отображается в нулевой вектор.

$[\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}] = 0$

Step 2

Простроим систему уравнений из векторного уравнения.

$- 2 = 0$

$1 = 0$

Step 3

Добавляем $2$ к обеим сторонам уравнения.

$0 = 2$

$1 = 0$

Step 4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$0 = - 1$

$0 = 2$

Step 5

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \end{array}]$

Step 6

Приведем матрицу к ступенчатому виду по строкам.

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов...

Применяем операцию $R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$ к $R_{1}$ (к $1$ строке) для того, чтобы сделать некоторые элементы строки равными $1$ .

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов...

Заменим $R_{1}$ (строка $1$ ) на результат строковой операции $R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$ , чтобы привести некоторые элементы строки к желаемой величине $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} R_{1} \\ - 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$

Заменим $R_{1}$ (строка $1$ ) на значения элементов для строковой операции $R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (\frac{1}{2}) \cdot (2) \\ - 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$

Упростим $R_{1}$ (строка $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \end{array}]$

Применяем операцию $R_{2} = R_{1} + R_{2}$ к $R_{2}$ (к $2$ строке) для того, чтобы сделать некоторые элементы строки равными $0$ .

Нажмите, чтобы увидеть больше шагов...

Заменим $R_{2}$ (строка $2$ ) на результат строковой операции $R_{2} = R_{1} + R_{2}$ , чтобы привести некоторые элементы строки к желаемой величине $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ R_{1} + R_{2} \end{array}]$

$R_{2} = R_{1} + R_{2}$

Заменим $R_{2}$ (строка $2$ ) на значения элементов для строковой операции $R_{2} = R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 \\ 1 - 1 \end{array}]$

$R_{2} = R_{1} + R_{2}$

Упростим $R_{2}$ (строка $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]$

Step 7

Воспользуемся полученной матрицей для того, чтобы описать итоговое решение системы уравнений.

$0 = 1$

Step 8

Это выражение представляет множество решений данной системы уравнений.

${}$

Step 9

Выражаем вектор решения, меняя группировку каждого уравнения, представленного в расширенной матрице канонического вида, с помощью выражения базисной переменной в каждой строке через всё остальное для получения векторного равенства.

$X = = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

Step 10

Ядро набора векторов - это множество векторов, полученных из свободных переменных системы.

${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$

Step 11

Ядром $a$ является подпространство ${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$ .

$K (a) = {[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$