Математический анализ Примеры

$\sum_{a = 1}^{5} 5^{a}$

Step 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Step 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{a + 1}}{a_{a}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $a_{a}$ и $a_{a + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{5^{a + 1}}{5^{a}}$

Сократим общий множитель $5^{a + 1}$ и $5^{a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $5^{a}$ из $5^{a + 1}$ .

$r = \frac{5^{a} \cdot 5}{5^{a}}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим на $1$ .

$r = \frac{5^{a} \cdot 5}{5^{a} \cdot 1}$

Сократим общий множитель.

$r = \frac{5^{a} \cdot 5}{5^{a} \cdot 1}$

Перепишем это выражение.

$r = \frac{5}{1}$

Разделим $5$ на $1$ .

$r = 5$

Step 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $1$ вместо $a$ в $5^{a}$ .

$a = 5^{1}$

Найдем экспоненту.

$a = 5$

Step 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$5 \frac{1 - 5^{5}}{1 - 1 \cdot 5}$

Step 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $5$ в степень $5$ .

$5 \frac{1 - 1 \cdot 3125}{1 - 1 \cdot 5}$

Умножим $- 1$ на $3125$ .

$5 \frac{1 - 3125}{1 - 1 \cdot 5}$

Вычтем $3125$ из $1$ .

$5 \frac{- 3124}{1 - 1 \cdot 5}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $5$ .

$5 \frac{- 3124}{1 - 5}$

Вычтем $5$ из $1$ .

$5 (\frac{- 3124}{- 4})$

Разделим $- 3124$ на $- 4$ .

$5 \cdot 781$

Умножим $5$ на $781$ .

$3905$