Математический анализ Примеры

$y = x + \frac{1}{x}$

Step 1

Запишем $y = x + \frac{1}{x}$ в виде функции.

$f (x) = x + \frac{1}{x}$

Step 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x + \frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$1 - x^{- 2}$

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Step 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Вычтем $4$ из $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Добавим $2 x^{- 3}$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (1)$

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 0$

Добавим $\frac{2}{x^{3}}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Step 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Step 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x + \frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 - x^{- 2}$

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Step 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{2}, 1$

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2}$

Каждый член в $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим каждый член $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ на $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Перепишем это выражение.

$- 1 = - x^{2}$

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в виде $- x^{2} = - 1$ .

$- x^{2} = - 1$

Разделим каждый член $- x^{2} = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $- x^{2} = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1}$

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Step 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Step 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 1, - 1$

Step 9

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{2}{{(1)}^{3}}$

Step 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2}{1}$

Разделим $2$ на $1$ .

$2$

Step 11

$x = 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный минимум

Step 12

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = (1) + \frac{1}{1}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $1$ на $1$ .

$f (1) = 1 + 1$

Добавим $1$ и $1$ .

$f (1) = 2$

Окончательный ответ: $2$ .

$y = 2$

Step 13

Найдем вторую производную в $x = - 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Step 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{2}{- 1}$

Разделим $2$ на $- 1$ .

$- 2$

Step 15

$x = - 1$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 1$ — локальный максимум

Step 16

Найдем значение y, если $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = (- 1) + \frac{1}{- 1}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $1$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 - 1$

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$f (- 1) = - 2$

Окончательный ответ: $- 2$ .

$y = - 2$

Step 17

Это локальные экстремумы $f (x) = x + \frac{1}{x}$ .

$(1, 2)$ — локальный минимум

$(- 1, - 2)$ — локальный максимум

Step 18