Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{\infty} (12) {(0.25)}^{i}$

Step 1

Сумму бесконечного геометрического ряда можно найти по формуле $\frac{a}{1 - r}$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Step 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $a_{i}$ и $a_{i + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{12 \cdot {0.25}^{i + 1}}{12 \cdot {0.25}^{i}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$r = \frac{12 \cdot {0.25}^{i + 1}}{12 \cdot {0.25}^{i}}$

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{0.25}^{i + 1}}{{0.25}^{i}}$

Сократим общий множитель ${0.25}^{i + 1}$ и ${0.25}^{i}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель ${0.25}^{i}$ из ${0.25}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{0.25}^{i} \cdot 0.25}{{0.25}^{i}}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{0.25}^{i} \cdot 0.25}{{0.25}^{i} \cdot 1}$

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{0.25}^{i} \cdot 0.25}{{0.25}^{i} \cdot 1}$

Перепишем это выражение.

$r = \frac{0.25}{1}$

Разделим $0.25$ на $1$ .

$r = 0.25$

Step 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Step 4

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $1$ вместо $i$ в $(12) {(0.25)}^{i}$ .

$a = 12 \cdot {0.25}^{1}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем экспоненту.

$a = 12 \cdot 0.25$

Умножим $12$ на $0.25$ .

$a = 3$

Step 5

Подставим знаменатель и первый член геометрической прогрессии в формулу суммы.

$\frac{3}{1 - 0.25}$

Step 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $0.25$ из $1$ .

$\frac{3}{0.75}$

Разделим $3$ на $0.75$ .

$4$