Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} e^{4 x}$

Step 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = e^{4 x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $4$ на $1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{4 x} \cdot 4) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Перенесем $4$ влево от $e^{4 x}$ .

$f' (x) = x^{2} (4 \cdot e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 4 e^{4 x} x^{2} + 2 e^{4 x} x$

Изменим порядок множителей в $4 e^{4 x} x^{2} + 2 e^{4 x} x$ .

$f' (x) = 4 x^{2} e^{4 x} + 2 x e^{4 x}$

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $4 x^{2} e^{4 x} + 2 x e^{4 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{4 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{2} e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{4 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2} e^{4 x}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{4 x}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

$f'' (x) = 4 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{4 x} \cdot 4) + e^{4 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Перенесем $4$ влево от $e^{4 x}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{4 x})$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x e^{4 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x e^{4 x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x e^{4 x}]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{4 x})$

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x))$

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $4 x$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x))$

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x))$

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $4 x$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x))$

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \frac{d}{d x} (x))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + e^{4 x} \cdot 1)$

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (e^{4 x} \cdot 4) + e^{4 x} \cdot 1)$

Перенесем $4$ влево от $e^{4 x}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (4 \cdot e^{4 x}) + e^{4 x} \cdot 1)$

Умножим $e^{4 x}$ на $1$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x}) + e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x})$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (4 e^{4 x}) + e^{4 x})$

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 4 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (4 e^{4 x})) + 2 e^{4 x}$

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $4$ на $4$ .

$f'' (x) = 16 (x^{2} (e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (2 x)) + 2 (x (4 e^{4 x})) + 2 e^{4 x}$

Умножим $2$ на $4$ .

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{4 x} + 8 (e^{4 x} (x)) + 2 (x (4 e^{4 x})) + 2 e^{4 x}$

Умножим $4$ на $2$ .

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{4 x} + 8 e^{4 x} x + 8 (x (e^{4 x})) + 2 e^{4 x}$

Добавим $8 e^{4 x} x$ и $8 x e^{4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $e^{4 x}$ .

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{4 x} + 8 x e^{4 x} + 8 x e^{4 x} + 2 e^{4 x}$

Добавим $8 x e^{4 x}$ и $8 x e^{4 x}$ .

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x}$

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 16 e^{4 x} x^{2} + 16 e^{4 x} x + 2 e^{4 x}$

Изменим порядок множителей в $16 e^{4 x} x^{2} + 16 e^{4 x} x + 2 e^{4 x}$ .

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x}$

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $16 x^{2} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x}$ .

$16 x^{2} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x}$

Step 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $16 x^{2} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть вторая производная равна $0$ .

$16 x^{2} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x} = 0$

Вынесем множитель $2 e^{4 x}$ из $16 x^{2} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2 e^{4 x}$ из $16 x^{2} e^{4 x}$ .

$2 e^{4 x} (8 x^{2}) + 16 x e^{4 x} + 2 e^{4 x} = 0$

Вынесем множитель $2 e^{4 x}$ из $16 x e^{4 x}$ .

$2 e^{4 x} (8 x^{2}) + 2 e^{4 x} (8 x) + 2 e^{4 x} = 0$

Вынесем множитель $2 e^{4 x}$ из $2 e^{4 x}$ .

$2 e^{4 x} (8 x^{2}) + 2 e^{4 x} (8 x) + 2 e^{4 x} (1) = 0$

Вынесем множитель $2 e^{4 x}$ из $2 e^{4 x} (8 x^{2}) + 2 e^{4 x} (8 x)$ .

$2 e^{4 x} (8 x^{2} + 8 x) + 2 e^{4 x} (1) = 0$

Вынесем множитель $2 e^{4 x}$ из $2 e^{4 x} (8 x^{2} + 8 x) + 2 e^{4 x} (1)$ .

$2 e^{4 x} (8 x^{2} + 8 x + 1) = 0$

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{4 x} = 0$

$8 x^{2} + 8 x + 1 = 0$

Приравняем $e^{4 x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $e^{4 x}$ к $0$ .

$e^{4 x} = 0$

Решим $e^{4 x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{4 x}) = \ln (0)$

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Нет решения для $e^{4 x} = 0$

Нет решения

Приравняем $8 x^{2} + 8 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $8 x^{2} + 8 x + 1$ к $0$ .

$8 x^{2} + 8 x + 1 = 0$

Решим $8 x^{2} + 8 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Подставим значения $a = 8$ , $b = 8$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 1)}}{2 \cdot 8}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $8$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Умножим $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 4$ на $8$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Умножим $- 32$ на $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2 \cdot 8}$

Вычтем $32$ из $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 8}$

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 8}$

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 8}$

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 8}$

Умножим $2$ на $8$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$

Упростим $\frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2}}{4}$

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $8$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Умножим $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 4$ на $8$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Умножим $- 32$ на $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2 \cdot 8}$

Вычтем $32$ из $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 8}$

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 8}$

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 8}$

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 8}$

Умножим $2$ на $8$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$

Упростим $\frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2}}{4}$

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 2 + \sqrt{2}}{4}$

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{2}}{4}$

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{2}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{2})}{4}$

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{2})$ .

$x = \frac{- 1 (2 - \sqrt{2})}{4}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $8$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 8 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Умножим $- 4 \cdot 8 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 4$ на $8$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 32 \cdot 1}}{2 \cdot 8}$

Умножим $- 32$ на $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2 \cdot 8}$

Вычтем $32$ из $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 8}$

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 8}$

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 8}$

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 8}$

Умножим $2$ на $8$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$

Упростим $\frac{- 8 \pm 4 \sqrt{2}}{16}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2}}{4}$

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 2 - \sqrt{2}}{4}$

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{2}}{4}$

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{2}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{2})}{4}$

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (2) - (\sqrt{2})$ .

$x = \frac{- 1 (2 + \sqrt{2})}{4}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{2 - \sqrt{2}}{4}, - \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 e^{4 x} (8 x^{2} + 8 x + 1) = 0$ верно.

$x = - \frac{2 - \sqrt{2}}{4}, - \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Step 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $- 0.1464466$ в $f (x) = x^{2} e^{4 x}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1464466$ .

$f (- 0.1464466) = {(- 0.1464466)}^{2} e^{4 (- 0.1464466)}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 0.1464466$ в степень $2$ .

$f (- 0.1464466) = 0.0214466 e^{4 (- 0.1464466)}$

Умножим $4$ на $- 0.1464466$ .

$f (- 0.1464466) = 0.0214466 e^{- 0.58578643}$

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 0.1464466) = 0.0214466 (\frac{1}{e^{0.58578643}})$

Объединим $0.0214466$ и $\frac{1}{e^{0.58578643}}$ .

$f (- 0.1464466) = \frac{0.0214466}{e^{0.58578643}}$

Заменим $e$ приближением.

$f (- 0.1464466) = \frac{0.0214466}{{2.71828182}^{0.58578643}}$

Возведем $2.71828182$ в степень $0.58578643$ .

$f (- 0.1464466) = \frac{0.0214466}{1.79640318}$

Разделим $0.0214466$ на $1.79640318$ .

$f (- 0.1464466) = 0.01193863$

Окончательный ответ: $0.01193863$ .

$0.01193863$

Подставляя $- 0.1464466$ в $f (x) = x^{2} e^{4 x}$ , найдем точку $(- 0.1464466, 0.01193863)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 0.1464466, 0.01193863)$

Подставим $- 0.85355339$ в $f (x) = x^{2} e^{4 x}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.85355339$ .

$f (- 0.85355339) = {(- 0.85355339)}^{2} e^{4 (- 0.85355339)}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 0.85355339$ в степень $2$ .

$f (- 0.85355339) = 0.72855339 e^{4 (- 0.85355339)}$

Умножим $4$ на $- 0.85355339$ .

$f (- 0.85355339) = 0.72855339 e^{- 3.41421356}$

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 0.85355339) = 0.72855339 (\frac{1}{e^{3.41421356}})$

Объединим $0.72855339$ и $\frac{1}{e^{3.41421356}}$ .

$f (- 0.85355339) = \frac{0.72855339}{e^{3.41421356}}$

Заменим $e$ приближением.

$f (- 0.85355339) = \frac{0.72855339}{{2.71828182}^{3.41421356}}$

Возведем $2.71828182$ в степень $3.41421356$ .

$f (- 0.85355339) = \frac{0.72855339}{30.39303779}$

Разделим $0.72855339$ на $30.39303779$ .

$f (- 0.85355339) = 0.02397106$

Окончательный ответ: $0.02397106$ .

$0.02397106$

Подставляя $- 0.85355339$ в $f (x) = x^{2} e^{4 x}$ , найдем точку $(- 0.85355339, 0.02397106)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 0.85355339, 0.02397106)$

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(- 0.1464466, 0.01193863), (- 0.85355339, 0.02397106)$

Step 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 0.85355339) \cup (- 0.85355339, - 0.1464466) \cup (- 0.1464466, \infty)$

Step 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 0.85355339)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.95355339$ .

$f'' (- 0.95355339) = 16 {(- 0.95355339)}^{2} e^{4 (- 0.95355339)} + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 0.95355339$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.95355339) = 16 \cdot (0.90926406 e^{4 (- 0.95355339)}) + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Умножим $16$ на $0.90926406$ .

$f'' (- 0.95355339) = 14.54822509 e^{4 (- 0.95355339)} + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Умножим $4$ на $- 0.95355339$ .

$f'' (- 0.95355339) = 14.54822509 e^{- 3.81421356} + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.95355339) = 14.54822509 (\frac{1}{e^{3.81421356}}) + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Объединим $14.54822509$ и $\frac{1}{e^{3.81421356}}$ .

$f'' (- 0.95355339) = \frac{14.54822509}{e^{3.81421356}} + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Заменим $e$ приближением.

$f'' (- 0.95355339) = \frac{14.54822509}{{2.71828182}^{3.81421356}} + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Возведем $2.71828182$ в степень $3.81421356$ .

$f'' (- 0.95355339) = \frac{14.54822509}{45.34108442} + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Разделим $14.54822509$ на $45.34108442$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 + 16 (- 0.95355339) \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Умножим $16$ на $- 0.95355339$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 15.25685424 \cdot e^{4 (- 0.95355339)} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Умножим $4$ на $- 0.95355339$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 15.25685424 \cdot e^{- 3.81421356} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 15.25685424 \cdot \frac{1}{e^{3.81421356}} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Объединим $- 15.25685424$ и $\frac{1}{e^{3.81421356}}$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 + \frac{- 15.25685424}{e^{3.81421356}} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - \frac{15.25685424}{e^{3.81421356}} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Заменим $e$ приближением.

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - \frac{15.25685424}{{2.71828182}^{3.81421356}} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Возведем $2.71828182$ в степень $3.81421356$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - \frac{15.25685424}{45.34108442} + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Разделим $15.25685424$ на $45.34108442$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 1 \cdot 0.33649072 + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Умножим $- 1$ на $0.33649072$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 0.33649072 + 2 e^{4 (- 0.95355339)}$

Умножим $4$ на $- 0.95355339$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 0.33649072 + 2 e^{- 3.81421356}$

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 0.33649072 + 2 (\frac{1}{e^{3.81421356}})$

Объединим $2$ и $\frac{1}{e^{3.81421356}}$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.32086186 - 0.33649072 + \frac{2}{e^{3.81421356}}$

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $0.33649072$ из $0.32086186$ .

$f'' (- 0.95355339) = - 0.01562885 + \frac{2}{e^{3.81421356}}$

Добавим $- 0.01562885$ и $\frac{2}{e^{3.81421356}}$ .

$f'' (- 0.95355339) = 0.02848125$

Окончательный ответ: $0.02848125$ .

$0.02848125$

При $- 0.95355339$ вторая производная имеет вид $0.02848125$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - 0.85355339)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 0.85355339)$ , так как $f'' (x) > 0$

Step 6

Подставим значение из интервала $(- 0.85355339, - 0.1464466)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 16 {(- \frac{1}{2})}^{2} e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 16 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 16 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 16 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 16 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Единица в любой степени равна единице.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 16 (\frac{1}{2^{2}}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 16 (\frac{1}{4}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (4) (\frac{1}{4}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Сократим общий множитель.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (4 (\frac{1}{4})) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Перепишем это выражение.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 e^{4 (- \frac{1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 e^{4 (\frac{- 1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 e^{2 (2) (\frac{- 1}{2})} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Сократим общий множитель.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 e^{2 \cdot (2 (\frac{- 1}{2}))} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Перепишем это выражение.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 e^{2 \cdot - 1} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 e^{- 2} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{e^{2}}) + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Объединим $4$ и $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} + 16 (- \frac{1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} + 16 (\frac{- 1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} + 2 (8) (\frac{- 1}{2}) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Сократим общий множитель.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} + 2 \cdot (8 (\frac{- 1}{2})) \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Перепишем это выражение.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} + 8 \cdot - 1 \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Умножим $8$ на $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot e^{4 (- \frac{1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot e^{4 (\frac{- 1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot e^{2 (2) (\frac{- 1}{2})} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Сократим общий множитель.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot e^{2 \cdot (2 (\frac{- 1}{2}))} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Перепишем это выражение.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot e^{2 \cdot - 1} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot e^{- 2} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - 8 \cdot \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{4 (- \frac{1}{2})}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{4 (\frac{- 1}{2})}$

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{2 (2) (\frac{- 1}{2})}$

Сократим общий множитель.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{2 \cdot (2 (\frac{- 1}{2}))}$

Перепишем это выражение.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{2 \cdot - 1}$

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 (\frac{1}{e^{2}})$

Объединим $2$ и $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + \frac{2}{e^{2}}$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 - 8 + 2}{e^{2}}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $8$ из $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 4 + 2}{e^{2}}$

Добавим $- 4$ и $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{e^{2}}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{2}{e^{2}}$

Окончательный ответ: $- \frac{2}{e^{2}}$ .

$- \frac{2}{e^{2}}$

При $- \frac{1}{2}$ вторая производная имеет вид $- 0.27067056$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- 0.85355339, - 0.1464466)$ .

Убывание на $(- 0.85355339, - 0.1464466)$ , так как $f'' (x) < 0$

Step 7

Подставим значение из интервала $(- 0.1464466, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.0464466$ .

$f'' (- 0.0464466) = 16 {(- 0.0464466)}^{2} e^{4 (- 0.0464466)} + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 0.0464466$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.0464466) = 16 \cdot (0.00215728 e^{4 (- 0.0464466)}) + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Умножим $16$ на $0.00215728$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.0345166 e^{4 (- 0.0464466)} + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Умножим $4$ на $- 0.0464466$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.0345166 e^{- 0.18578643} + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.0345166 (\frac{1}{e^{0.18578643}}) + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Объединим $0.0345166$ и $\frac{1}{e^{0.18578643}}$ .

$f'' (- 0.0464466) = \frac{0.0345166}{e^{0.18578643}} + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Заменим $e$ приближением.

$f'' (- 0.0464466) = \frac{0.0345166}{{2.71828182}^{0.18578643}} + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Возведем $2.71828182$ в степень $0.18578643$ .

$f'' (- 0.0464466) = \frac{0.0345166}{1.20416506} + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Разделим $0.0345166$ на $1.20416506$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 + 16 (- 0.0464466) \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Умножим $16$ на $- 0.0464466$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 0.74314575 \cdot e^{4 (- 0.0464466)} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Умножим $4$ на $- 0.0464466$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 0.74314575 \cdot e^{- 0.18578643} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 0.74314575 \cdot \frac{1}{e^{0.18578643}} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Объединим $- 0.74314575$ и $\frac{1}{e^{0.18578643}}$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 + \frac{- 0.74314575}{e^{0.18578643}} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - \frac{0.74314575}{e^{0.18578643}} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Заменим $e$ приближением.

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - \frac{0.74314575}{{2.71828182}^{0.18578643}} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Возведем $2.71828182$ в степень $0.18578643$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - \frac{0.74314575}{1.20416506} + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Разделим $0.74314575$ на $1.20416506$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 1 \cdot 0.61714607 + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Умножим $- 1$ на $0.61714607$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 0.61714607 + 2 e^{4 (- 0.0464466)}$

Умножим $4$ на $- 0.0464466$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 0.61714607 + 2 e^{- 0.18578643}$

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 0.61714607 + 2 (\frac{1}{e^{0.18578643}})$

Объединим $2$ и $\frac{1}{e^{0.18578643}}$ .

$f'' (- 0.0464466) = 0.02866434 - 0.61714607 + \frac{2}{e^{0.18578643}}$

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $0.61714607$ из $0.02866434$ .

$f'' (- 0.0464466) = - 0.58848173 + \frac{2}{e^{0.18578643}}$

Добавим $- 0.58848173$ и $\frac{2}{e^{0.18578643}}$ .

$f'' (- 0.0464466) = 1.07242012$

Окончательный ответ: $1.07242012$ .

$1.07242012$

При $- 0.0464466$ вторая производная имеет вид $1.07242012$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 0.1464466, \infty)$ .

Возрастание в области $(- 0.1464466, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Step 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 0.85355339, 0.02397106), (- 0.1464466, 0.01193863)$ .

$(- 0.85355339, 0.02397106), (- 0.1464466, 0.01193863)$

Step 9