Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{x^{5}}$

Step 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $\frac{1}{x^{5}}$ в виде ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{5})}^{- 1})$

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{5 \cdot - 1})$

Умножим $5$ на $- 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{- 5})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 5$ .

$f' (x) = - 5 x^{- 6}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 5 \frac{1}{x^{6}}$

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f' (x) = \frac{- 5}{x^{6}}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{5}{x^{6}}$

Step 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{5}{x^{6}}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{6}}$

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $\frac{1}{x^{6}}$ в виде ${(x^{6})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} {(x^{6})}^{- 1}$

Перемножим экспоненты в ${(x^{6})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} x^{6 \cdot - 1}$

Умножим $6$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} x^{- 6}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 6$ .

$f'' (x) = - 5 (- 6 x^{- 7})$

Умножим $- 6$ на $- 5$ .

$f'' (x) = 30 x^{- 7}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 30 (\frac{1}{x^{7}})$

Объединим $30$ и $\frac{1}{x^{7}}$ .

$f'' (x) = \frac{30}{x^{7}}$

Step 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{30}{x^{7}}$ .

$\frac{30}{x^{7}}$