Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{3} 2^{i}$

Этап 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $a_{i}$ и $a_{i + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{2^{i + 1}}{2^{i}}$

Сократим общий множитель $2^{i + 1}$ и $2^{i}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2^{i}$ из $2^{i + 1}$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i}}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим на $1$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Сократим общий множитель.

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Перепишем это выражение.

$r = \frac{2}{1}$

Разделим $2$ на $1$ .

$r = 2$

Этап 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $1$ вместо $i$ в $2^{i}$ .

$a = 2^{1}$

Найдем экспоненту.

$a = 2$

Этап 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$2 \frac{1 - 2^{3}}{1 - 1 \cdot 2}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $2$ в степень $3$ .

$2 \frac{1 - 1 \cdot 8}{1 - 1 \cdot 2}$

Умножим $- 1$ на $8$ .

$2 \frac{1 - 8}{1 - 1 \cdot 2}$

Вычтем $8$ из $1$ .

$2 \frac{- 7}{1 - 1 \cdot 2}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 \frac{- 7}{1 - 2}$

Вычтем $2$ из $1$ .

$2 (\frac{- 7}{- 1})$

Разделим $- 7$ на $- 1$ .

$2 \cdot 7$

Умножим $2$ на $7$ .

$14$