Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n}}{3^{n}}$

Step 1

Сумму бесконечного геометрического ряда можно найти по формуле $\frac{a}{1 - r}$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Step 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $a_{n}$ и $a_{n + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{\frac{2^{n + 1}}{3^{n + 1}}}{\frac{2^{n}}{3^{n}}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$r = \frac{2^{n + 1}}{3^{n + 1}} \cdot \frac{3^{n}}{2^{n}}$

Объединим.

$r = \frac{2^{n + 1} \cdot 3^{n}}{3^{n + 1} \cdot 2^{n}}$

Сократим общий множитель $2^{n + 1}$ и $2^{n}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2^{n}$ из $2^{n + 1} \cdot 3^{n}$ .

$r = \frac{2^{n} (2 \cdot 3^{n})}{3^{n + 1} \cdot 2^{n}}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2^{n}$ из $3^{n + 1} \cdot 2^{n}$ .

$r = \frac{2^{n} (2 \cdot 3^{n})}{2^{n} \cdot 3^{n + 1}}$

Сократим общий множитель.

$r = \frac{2^{n} (2 \cdot 3^{n})}{2^{n} \cdot 3^{n + 1}}$

Перепишем это выражение.

$r = \frac{2 \cdot 3^{n}}{3^{n + 1}}$

Сократим общий множитель $3^{n}$ и $3^{n + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $3^{n + 1}$ из $2 \cdot 3^{n}$ .

$r = \frac{3^{n + 1} (2 \cdot 3^{n - (n + 1)})}{3^{n + 1}}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим на $1$ .

$r = \frac{3^{n + 1} (2 \cdot 3^{n - (n + 1)})}{3^{n + 1} \cdot 1}$

Сократим общий множитель.

$r = \frac{3^{n + 1} (2 \cdot 3^{n - (n + 1)})}{3^{n + 1} \cdot 1}$

Перепишем это выражение.

$r = \frac{2 \cdot 3^{n - (n + 1)}}{1}$

Разделим $2 \cdot 3^{n - (n + 1)}$ на $1$ .

$r = 2 \cdot 3^{n - (n + 1)}$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$r = 2 \cdot 3^{n - n - 1 \cdot 1}$

Умножим $- 1$ на $1$ .

$r = 2 \cdot 3^{n - n - 1}$

Вычтем $n$ из $n$ .

$r = 2 \cdot 3^{0 - 1}$

Вычтем $1$ из $0$ .

$r = 2 \cdot 3^{- 1}$

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = 2 \cdot \frac{1}{3}$

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$r = \frac{2}{3}$

Step 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Step 4

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $1$ вместо $n$ в $\frac{2^{n}}{3^{n}}$ .

$a = \frac{2^{1}}{3^{1}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем экспоненту.

$a = \frac{2}{3^{1}}$

Найдем экспоненту.

$a = \frac{2}{3}$

Step 5

Подставим знаменатель и первый член геометрической прогрессии в формулу суммы.

$\frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}}$

Step 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2}{3}}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 2}{3}}$

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2}{3} (1 \cdot 3)$

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $3$ из $1 \cdot 3$ .

$\frac{2}{3} (3 \cdot 1)$

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} (3 \cdot 1)$

Перепишем это выражение.

$2$