Математический анализ Примеры

$y = x^{2} + 1$ , $y = x + 3$

Step 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} + 1 = x + 3$

Решим $x^{2} + 1 = x + 3$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 1 - x = 3$

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 1 - x - 3 = 0$

Вычтем $3$ из $1$ .

$x^{2} - x - 2 = 0$

Разложим $x^{2} - x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1 + y = x + 3$

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) (x + 1) = 0$

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0 + y = x + 3$

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 2, - 1$

Вычислим $y$ , когда $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = (2) + 3$

Подставим $2$ вместо $x$ в $y = (2) + 3$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Избавимся от скобок.

$y = 2 + 3$

Избавимся от скобок.

$y = (2) + 3$

Добавим $2$ и $3$ .

$y = 5$

Вычислим $y$ , когда $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$y = (- 1) + 3$

Подставим $- 1$ вместо $x$ в $y = (- 1) + 3$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Избавимся от скобок.

$y = - 1 + 3$

Избавимся от скобок.

$y = (- 1) + 3$

Добавим $- 1$ и $3$ .

$y = 2$

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(2, 5)$

$(- 1, 2)$

$(2, 5)$

$(- 1, 2)$

Step 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 1}^{2} x + 3 d x - \int_{- 1}^{2} x^{2} + 1 d x$

Step 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 1$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 1}^{2} x + 3 - (x^{2} + 1) d x$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 3 - x^{2} - 1 \cdot 1$

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x + 3 - x^{2} - 1$

$\int_{- 1}^{2} x + 3 - x^{2} - 1 d x$

Вычтем $1$ из $3$ .

$\int_{- 1}^{2} x - x^{2} + 2 d x$

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - \int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 2 x]_{- 1}^{2}$

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}$ и $2 x]_{- 1}^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 x]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2})$

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ в $2$ и в $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2})$

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$\frac{4}{2} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Разделим $2$ на $1$ .

$2 + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Умножим $2$ на $2$ .

$2 + 4 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Добавим $2$ и $4$ .

$6 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$6 - (\frac{1}{2} \cdot 1 + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$6 - (\frac{1}{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Умножим $2$ на $- 1$ .

$6 - (\frac{1}{2} - 2) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$6 - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$6 - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 2$ на $2$ .

$6 - \frac{1 - 4}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Вычтем $4$ из $1$ .

$6 - \frac{- 3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$6 - - \frac{3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$6 + 1 (\frac{3}{2}) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$6 + \frac{3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Чтобы записать $6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$6 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Объединим $6$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6 \cdot 2 + 3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{12 + 3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Добавим $12$ и $3$ .

$\frac{15}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} - \frac{- 1}{3})$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} - - \frac{1}{3})$

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} + \frac{1}{3})$

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{15}{2} - \frac{8 + 1}{3}$

Добавим $8$ и $1$ .

$\frac{15}{2} - \frac{9}{3}$

Сократим общий множитель $9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{15}{2} - \frac{3 \cdot 3}{3}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{15}{2} - \frac{3 \cdot 3}{3 (1)}$

Сократим общий множитель.

$\frac{15}{2} - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}$

Перепишем это выражение.

$\frac{15}{2} - \frac{3}{1}$

Разделим $3$ на $1$ .

$\frac{15}{2} - 1 \cdot 3$

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{15}{2} - 3$

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{15 - 3 \cdot 2}{2}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{15 - 6}{2}$

Вычтем $6$ из $15$ .

$\frac{9}{2}$

Step 4