Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 3}^{7} 2 {(\frac{2}{3})}^{i - 1}$

Этап 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $a_{i}$ и $a_{i + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{2 {(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}}{2 {(\frac{2}{3})}^{i - 1}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$r = \frac{2 {(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}}{2 {(\frac{2}{3})}^{i - 1}}$

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{i - 1}}$

Сократим общий множитель ${(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}$ и ${(\frac{2}{3})}^{i - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель ${(\frac{2}{3})}^{i - 1}$ из ${(\frac{2}{3})}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{i - 1}}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Разделим ${(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$ на $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$r = {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - i - - 1}$

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{i + 0 - i + 1}$

Добавим $i$ и $0$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{i - i + 1}$

Вычтем $i$ из $i$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

Добавим $0$ и $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

Упростим.

$r = \frac{2}{3}$

Этап 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $3$ вместо $i$ в $2 {(\frac{2}{3})}^{i - 1}$ .

$a = 2 {(\frac{2}{3})}^{3 - 1}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $1$ из $3$ .

$a = 2 {(\frac{2}{3})}^{2}$

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$a = 2 \frac{2^{2}}{3^{2}}$

Возведем $2$ в степень $2$ .

$a = 2 \frac{4}{3^{2}}$

Возведем $3$ в степень $2$ .

$a = 2 (\frac{4}{9})$

Умножим $2 (\frac{4}{9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $2$ и $\frac{4}{9}$ .

$a = \frac{2 \cdot 4}{9}$

Умножим $2$ на $4$ .

$a = \frac{8}{9}$

Этап 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$\frac{8}{9} \cdot \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{5}}{1 - \frac{2}{3}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{5}}{1 - \frac{2}{3}}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{9} (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{5}}{1 - \frac{2}{3}})$

Объединим.

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 (1 - {(\frac{2}{3})}^{5})}{3 (1 - \frac{2}{3})}$

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{5})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{2}{3})}$

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{3}$ в числитель.

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{5})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

Сократим общий множитель.

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{5})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{5})}{3 \cdot 1 - 2}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{5})}{3 \cdot 1 - 2}$

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + 3 (- \frac{2^{5}}{3^{5}})}{3 \cdot 1 - 2}$

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2^{5}}{3^{5}}$ в числитель.

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 2^{5}}{3^{5}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Вынесем множитель $3$ из $3^{5}$ .

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 2^{5}}{3 \cdot 3^{4}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Сократим общий множитель.

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 2^{5}}{3 \cdot 3^{4}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + \frac{- 2^{5}}{3^{4}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Возведем $2$ в степень $5$ .

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 32}{3^{4}}}{3 \cdot 1 - 2}$

Возведем $3$ в степень $4$ .

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 32}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

Умножим $- 1$ на $32$ .

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 + \frac{- 32}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 - \frac{32}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{81}{81}$ .

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3 \cdot \frac{81}{81} - \frac{32}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

Объединим $3$ и $\frac{81}{81}$ .

$\frac{8}{9} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 81}{81} - \frac{32}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8}{9} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 81 - 32}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $3$ на $81$ .

$\frac{8}{9} \cdot \frac{\frac{243 - 32}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

Вычтем $32$ из $243$ .

$\frac{8}{9} \cdot \frac{\frac{211}{81}}{3 \cdot 1 - 2}$

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{8}{9} \cdot \frac{\frac{211}{81}}{3 - 2}$

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{8}{9} \cdot \frac{\frac{211}{81}}{1}$

Разделим $\frac{211}{81}$ на $1$ .

$\frac{8}{9} \cdot \frac{211}{81}$

Умножим $\frac{8}{9} \cdot \frac{211}{81}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{8}{9}$ на $\frac{211}{81}$ .

$\frac{8 \cdot 211}{9 \cdot 81}$

Умножим $8$ на $211$ .

$\frac{1688}{9 \cdot 81}$

Умножим $9$ на $81$ .

$\frac{1688}{729}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1688}{729}$

Десятичная форма:

$2.31550068 \dots$

Форма смешанных чисел:

$2 \frac{230}{729}$