Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 1}^{50} n (4 n + 3)$

Step 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$n (4 n) + n \cdot 3$

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 n \cdot n + n \cdot 3$

Перенесем $3$ влево от $n$ .

$4 n \cdot n + 3 \cdot n$

Умножим $n$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $n$ .

$4 (n \cdot n) + 3 \cdot n$

Умножим $n$ на $n$ .

$4 n^{2} + 3 \cdot n$

$4 n^{2} + 3 n$

Переделаем суммирование.

$\sum_{n = 1}^{50} 4 n^{2} + 3 n$

Step 2

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{n = 1}^{50} 4 n^{2} + 3 n = 4 \sum_{n = 1}^{50} n^{2} + 3 \sum_{n = 1}^{50} n$

Step 3

Найдем значение $4 \sum_{n = 1}^{50} n^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(4) (\frac{50 (50 + 1) (2 \cdot 50 + 1)}{6})$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $50$ и $1$ .

$4 \frac{50 \cdot 51 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $50$ на $51$ .

$4 \frac{2550 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Умножим $2$ на $50$ .

$4 \frac{2550 (100 + 1)}{6}$

Добавим $100$ и $1$ .

$4 \frac{2550 \cdot 101}{6}$

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2550$ на $101$ .

$4 (\frac{257550}{6})$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (2) \frac{257550}{6}$

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{257550}{3})$

Объединим $2$ и $\frac{257550}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 257550}{3}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $257550$ .

$\frac{515100}{3}$

Разделим $515100$ на $3$ .

$171700$

Step 4

Найдем значение $3 \sum_{n = 1}^{50} n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(3) (\frac{50 (50 + 1)}{2})$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $50$ и $1$ .

$3 \frac{50 \cdot 51}{2}$

Умножим $50$ на $51$ .

$3 (\frac{2550}{2})$

Разделим $2550$ на $2$ .

$3 \cdot 1275$

Умножим $3$ на $1275$ .

$3825$

Step 5

Сложим результаты суммирования.

$171700 + 3825$

Step 6

Добавим $171700$ и $3825$ .

$175525$