Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 1}^{\infty} 5 {(\frac{3}{4})}^{n - 1}$

Step 1

Сумму бесконечного геометрического ряда можно найти по формуле $\frac{a}{1 - r}$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Step 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $a_{n}$ и $a_{n + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{5 {(\frac{3}{4})}^{n + 1 - 1}}{5 {(\frac{3}{4})}^{n - 1}}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$r = \frac{5 {(\frac{3}{4})}^{n + 1 - 1}}{5 {(\frac{3}{4})}^{n - 1}}$

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{3}{4})}^{n - 1}}$

Сократим общий множитель ${(\frac{3}{4})}^{n + 1 - 1}$ и ${(\frac{3}{4})}^{n - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель ${(\frac{3}{4})}^{n - 1}$ из ${(\frac{3}{4})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{n - 1} {(\frac{3}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{3}{4})}^{n - 1}}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{n - 1} {(\frac{3}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{3}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{n - 1} {(\frac{3}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{3}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(\frac{3}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Разделим ${(\frac{3}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$ на $1$ .

$r = {(\frac{3}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Добавим $n$ и $0$ .

$r = {(\frac{3}{4})}^{n - (n - 1)}$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$r = {(\frac{3}{4})}^{n - n - - 1}$

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$r = {(\frac{3}{4})}^{n - n + 1}$

Вычтем $n$ из $n$ .

$r = {(\frac{3}{4})}^{0 + 1}$

Добавим $0$ и $1$ .

$r = {(\frac{3}{4})}^{1}$

Упростим.

$r = \frac{3}{4}$

Step 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Step 4

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $1$ вместо $n$ в $5 {(\frac{3}{4})}^{n - 1}$ .

$a = 5 {(\frac{3}{4})}^{1 - 1}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $1$ из $1$ .

$a = 5 {(\frac{3}{4})}^{0}$

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$a = 5 \frac{3^{0}}{4^{0}}$

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 5 \frac{1}{4^{0}}$

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 5 (\frac{1}{1})$

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$a = 5 (\frac{1}{1})$

Перепишем это выражение.

$a = 5 \cdot 1$

Умножим $5$ на $1$ .

$a = 5$

Step 5

Подставим знаменатель и первый член геометрической прогрессии в формулу суммы.

$\frac{5}{1 - \frac{3}{4}}$

Step 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{5}{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5}{\frac{4 - 3}{4}}$

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{5}{\frac{1}{4}}$

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$5 \cdot 4$

Умножим $5$ на $4$ .

$20$