Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (1 - e^{x})$

Step 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 1 - e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]$

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]$

Заменим все вхождения $u$ на $1 - e^{x}$ .

$\frac{1}{1 - e^{x}} \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]$

Step 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $1 - e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{1}{1 - e^{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{1 - e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{1}{1 - e^{x}} \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{1 - e^{x}} (- \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Step 3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 - e^{x}} (- e^{x})$

Step 4

Объединим $\frac{1}{1 - e^{x}}$ и $e^{x}$ .

$- \frac{e^{x}}{1 - e^{x}}$