Математический анализ Примеры

$y = 2 x - x^{2}$ , $y = x$

Step 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$2 x - x^{2} = x$

Решим $2 x - x^{2} = x$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$2 x - x^{2} - x = 0$

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$- x^{2} + x = 0$

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + x = 0$

Перепишем $x$ в виде $1 x$ .

$- x \cdot x + 1 x = 0$

Вынесем множитель $- x$ из $1 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 1 = 0$

Вынесем множитель $- x$ из $- x (x) - x (- 1)$ .

$- x (x - 1) = 0$

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0 + y = x$

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Окончательным решением являются все значения, при которых $- x (x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, 1$

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 0$

Избавимся от скобок.

$y = 0$

Вычислим $y$ , когда $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = 1$

Избавимся от скобок.

$y = 1$

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Step 2

Изменим порядок $2 x$ и $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

Step 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{1} - x^{2} + 2 x d x - \int_{0}^{1} x d x$

Step 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{1} - x^{2} + 2 x - (x) d x$

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$\int_{0}^{1} - x^{2} + x d x$

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} - x^{2} d x + \int_{0}^{1} x d x$

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} x d x$

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x d x$

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x d x$

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2}$ в $1$ и в $0$ .

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Единица в любой степени равна единице.

$- (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Сократим общий множитель.

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Перепишем это выражение.

$- (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Разделим $0$ на $1$ .

$- (\frac{1}{3} - 0) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- (\frac{1}{3} + 0) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0$

Умножим $0$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2})$

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 0$

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

Чтобы записать $- \frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 + 3}{6}$

Добавим $- 2$ и $3$ .

$\frac{1}{6}$

Step 5