Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{3}{x - 7}$

Step 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{x - 7}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 7}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x - 7})$

Перепишем $\frac{1}{x - 7}$ в виде ${(x - 7)}^{- 1}$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x - 7)}^{- 1})$

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 7$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x - 7))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f' (x) = 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

Заменим все вхождения $u$ на $x - 7$ .

$f' (x) = 3 (- {(x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = - 3 ({(x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

По правилу суммы производная $x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (1 + 0)$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} \cdot 1$

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 3 \frac{1}{{(x - 7)}^{2}}$

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{{(x - 7)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 3}{{(x - 7)}^{2}}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ .

$- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$

Step 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Приравняем числитель к нулю.

$3 = 0$

Поскольку $3 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Step 3

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены

Step 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Зададим знаменатель в $\frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 7)}^{2} = 0$

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Step 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = - \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = \frac{3}{x - 7}$ в интервале $(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$ .

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

Step 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 7)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f' (6) = - \frac{3}{{((6) - 7)}^{2}}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $7$ из $6$ .

$f' (6) = - \frac{3}{{(- 1)}^{2}}$

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (6) = - \frac{3}{1}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $3$ на $1$ .

$f' (6) = - 1 \cdot 3$

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (6) = - 3$

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

При $x = 6$ производная имеет вид $- 3$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 7)$ .

Убывание на $(- \infty, 7)$ , так как $f' (x) < 0$

Step 7

Подставим значение из интервала $(7, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $8$ .

$f' (8) = - \frac{3}{{((8) - 7)}^{2}}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $7$ из $8$ .

$f' (8) = - \frac{3}{1^{2}}$

Единица в любой степени равна единице.

$f' (8) = - \frac{3}{1}$

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим $3$ на $1$ .

$f' (8) = - 1 \cdot 3$

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (8) = - 3$

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

При $x = 8$ производная имеет вид $- 3$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(7, \infty)$ .

Убывание на $(7, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Step 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Убывание на: $(- \infty, 7), (7, \infty)$

Step 9