Математический анализ Примеры

$f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 52$

Step 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $- x^{3} + 9 x^{2} - 52$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 52]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Умножим $2$ на $9$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} (- 52)$

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 52$ является константой относительно $x$ , производная $- 52$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + 0$

Добавим $- 3 x^{2} + 18 x$ и $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 3 x^{2} + 18 x$ .

$- 3 x^{2} + 18 x$

Step 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 x^{2} + 18 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 3 x^{2} + 18 x = 0$

Вынесем множитель $- 3 x$ из $- 3 x^{2} + 18 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $- 3 x$ из $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x \cdot x + 18 x = 0$

Вынесем множитель $- 3 x$ из $18 x$ .

$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 6 = 0$

Вынесем множитель $- 3 x$ из $- 3 x (x) - 3 x (- 6)$ .

$- 3 x (x - 6) = 0$

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 3 x (x - 6) = 0$ верно.

$x = 0, 6$

Step 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, 6$ .

$0, 6$

Step 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Step 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - 3 {(- 1)}^{2} + 18 (- 1)$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- 1) = - 3 \cdot 1 + 18 (- 1)$

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f' (- 1) = - 3 + 18 (- 1)$

Умножим $18$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = - 3 - 18$

Вычтем $18$ из $- 3$ .

$f' (- 1) = - 21$

Окончательный ответ: $- 21$ .

$- 21$

При $x = - 1$ производная имеет вид $- 21$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Step 6

Подставим значение из интервала $(0, 6)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = - 3 {(3)}^{2} + 18 (3)$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (3) = - 3 \cdot 9 + 18 (3)$

Умножим $- 3$ на $9$ .

$f' (3) = - 27 + 18 (3)$

Умножим $18$ на $3$ .

$f' (3) = - 27 + 54$

Добавим $- 27$ и $54$ .

$f' (3) = 27$

Окончательный ответ: $27$ .

$27$

При $x = 3$ производная имеет вид $27$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, 6)$ .

Возрастание в области $(0, 6)$ , так как $f' (x) > 0$

Step 7

Подставим значение из интервала $(6, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7$ .

$f' (7) = - 3 {(7)}^{2} + 18 (7)$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $7$ в степень $2$ .

$f' (7) = - 3 \cdot 49 + 18 (7)$

Умножим $- 3$ на $49$ .

$f' (7) = - 147 + 18 (7)$

Умножим $18$ на $7$ .

$f' (7) = - 147 + 126$

Добавим $- 147$ и $126$ .

$f' (7) = - 21$

Окончательный ответ: $- 21$ .

$- 21$

При $x = 7$ производная имеет вид $- 21$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(6, \infty)$ .

Убывание на $(6, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Step 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(0, 6)$

Убывание на: $(- \infty, 0), (6, \infty)$

Step 9