Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{e^{x}}$

Step 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Step 2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Step 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (2 x)}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Умножим $2$ на $4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{8 x}{e^{x}}$

Step 4

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$8 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

Step 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$8 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$8 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$8 \frac{\infty}{\infty}$

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$8 \frac{\infty}{\infty}$

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$8 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

$8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

Step 6

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{e^{x}}$ стремится к $0$ .

$8 \cdot 0$

Step 7

Умножим $8$ на $0$ .

$0$