Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} - 3 x$

Step 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x^{2} - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 x - 3 \frac{d}{d x} x$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 2 x - 3 \cdot 1$

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f' (x) = 2 x - 3$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 x - 3$ .

$2 x - 3$

Step 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 x - 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 3$

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Step 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Step 4

Вычислим $x^{2} - 3 x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем значение в $x = \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Подставим $\frac{3}{2}$ вместо $x$ .

${(\frac{3}{2})}^{2} - 3 (\frac{3}{2})$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3^{2}}{2^{2}} - 3 (\frac{3}{2})$

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{9}{2^{2}} - 3 (\frac{3}{2})$

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2})$

Умножим $- 3 (\frac{3}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $- 3$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2}$

Умножим $- 3$ на $3$ .

$\frac{9}{4} + \frac{- 9}{2}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{9}{4} - \frac{9}{2}$

Чтобы записать $- \frac{9}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{4} - \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9 - 9 \cdot 2}{4}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $- 9$ на $2$ .

$\frac{9 - 18}{4}$

Вычтем $18$ из $9$ .

$\frac{- 9}{4}$

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{9}{4}$

Перечислим все точки.

$(\frac{3}{2}, - \frac{9}{4})$

Step 5